几种定积分的数值计算方法

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几种定积分的数值计算方法摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明.关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形SeveralNumericalMethodsforSolvingDefiniteIntegralsAbstract:Severalcommonmethodsforsolvingdefiniteintegralsaresummarizedinthispaper.Meantime,theideaforeachmethodisemphaticallyanalyzed.Afterwards,anumericalexampleisillustratedtoshowthattheadvantagesanddisadvantagesofthesemethods.Keywords:Numericalmethods,Rectanglemethod,Trapezoidalmethod,Parabolicmethod,Classrectangle,Classtrapezoid11.引言在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(xf在区间],[ba连续且原函数为)(xF,则可用牛顿-莱布尼茨公式baaFbFxf)()()(求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(xf在区间],[ba连续且原函数为)(xF,则可用牛顿-莱布尼茨公式baaFbFxf)()()(求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况:(1)函数)(xf的原函数无法用初等函数给出.例如积分dxex102,10sindxxx等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。(2)函数)(xf使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。(3)函数)(xf的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用.由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较.2.几何意义上的数值算法s在几何上表示以],[ba为底,以曲线)(xfy为曲边的曲边梯形的面积A,因此,计算s的近似值也就是A的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[ba,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[ba上等分n的小区间,x1-ihxibxaxn,0,其中nabh表示小区间的长度.2.1矩形法2矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S的近似值.若取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则niixfnabA1).(图1分割曲边矩形近似积分2.2梯形法梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积,见图2,从而得到S的近似值,即11)(2)()(niixfbfafnabA.图2分割曲边梯形近似积分2.3抛物线法抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边,曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积,如图3所示.图3抛物线积分3210,,xxx对应的曲线上的点210,,PPP可以唯一地确定一条抛物线cbxaxy2,这条抛物线将作将代替从0x至2x的曲线段,此时积分可以转化为对抛物线积分,而抛物线的积分可以利用牛顿—莱布尼玆公式.第1、2个小区边梯形的面积:)]()(4)([3)2102120xfxfxfhdxcbxaxAxx(上面利用了条件210,,PPP是抛物线上的点以及等式1022xxx.同理可证:)]()(4)([3h4322xfxfxfA……)]()(4)([3122/nnnnxfxfxfhA所以,})(2)(4)]()({[12/122/11232/21niiniinabnxfxfbfafAAAS3.概率意义上的数值算法概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法,其设计思想简单,易于实现.尽管算法要耗费较多计算时间,但是往往能得到问题的近似解,并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高.概率算法可用于计算定积分的近似值.3.1平均值法考虑定积分badxxfI)(的近似计算,其中)(xf在ba,内可积,用平均值法计算该积分,首先随机产生n个独立的随机变量,且服从在ba,上均匀分布,即),2,1(nii;其次,计算I的近似值I,niifnabI1)(.由中心极限定理知,若),2,1(nii相互独立、同分布,且数学期望及标准差0存在,则当n充分大时,随机变量nIIY渐近服从正态分布)1,0(N,即对任意的0t,}tI-IP{}tYP{n4这表明,用平均值法计算定积分的收敛速度较慢,在概率意义下的误差阶仅为)1(nO.3.2“类矩形”Monte-Carlo方法由于平均值法计算定积分的收敛速度较慢,且在概率意义下的误差阶仅为)1(nO,就有对平均值法的改进,“类矩形”Monte-Carlo方法,改进过程为:先将积分区间ba,n等分,随机产生n个相互独立且服从1,0上均匀分布的随机变量序列),2,1(},{nii;然后由这n个随机点类似于矩形公式构造计算公式,即作变换niinabaii,2,1),1(将}{i映射到子区间nibaabniaabnia,,2,1,,)}(),(1{最后,计算I的近似值I~,niifnabI1)(~.下面用两个命题证明“类矩阵”方法的可行性.命题1设有记,,,)(max,,)(0,1baxxfMbaCxfbaxMababxfdxxfba2)())(()(20证明:由Lagrange中值定理得)())(()()(000之间与介于xxxxfxfxf上式两边在ba,积分,得babadxxxfabxfdxxf))(())(()(00由)(xf得连续性,得.2)()(21)())(())(()(222020000MabbaxbaxMdxxxMdxxxfabxfdxxfbababa命题2设,,,)(1nabhbaCxf5nixfMxfMihahiaxibax,.2.1,)(max,)(max,)1(,I~与I如上,则I~与I的误差满足)1(~nOII.证明:baniifnabdxxfII1)()(~niihahianiifhdxxf1)1(1)()(niihahiaihfdxxf1)1()()(由命题1得,nihMhfdxxfiihahiai,,2,1,2)()(2)1(于是niiabnMhMII122)(22~即)1(~nOII.3.3“类梯形”Monte-Carlo方法再给出平均值法的另一种改进.首先将ba,n等分,再在每个子区间上随机产生n2个相互独立且服从]1,0[上均匀分布的随机变量序列,并两两分组,得),,3,2,1(},,{212niii;做变换)12(2)22(2221212iiiiinabainaba将12i,i2分别映射到子区间niabniaabniaabniaabnia,,3,2,1)],(),(212[)](212),(1[然后在每个等分子区间上)](),(1[abniaabnia利用ii212,两点类似于梯形6公式构造“类梯形”公式)]()([212iiiffnabS近类似ihahiadxxf)1()(.最后计算I的近似值I~~,niiiffnabI12122)()(~~.下面证明“类梯形”方法可行性的两个命题:命题3设2,fxabC,记,max''xabfxM=,则1212,xxaxx,有312212bababafxdxfxfxM.证明:过1122,,,xfxxfx两点的直线方程为211121()()fxfxPxfxxxxx所以()(),1,2.iiPxfxi令12()()()()()()RxfxPxkxxxxx(1)将x看成,ab上的一个定点,构造辅助函数12()()()()()()tftPtkxtxtx由于12()()()0xxx,由Rolle中值定理,'()t在,ab内至少有两个零点,对'()t再用Rolle中值定理,知''()t在,ab内至少有一个零点,即存在,ab,使''()''()2()0fkx,所以''()()2fkx.将它代入(1)式,并两段同时从a到b积分,得712121212121212122''()()()2()()2()()()()()()2bababaxxbaxxbafxdxfxfxfxxxxdxMxxxxdxMxxxxdxxxxxdxxxxxdx记121212121212(,)()()()()()()xxbaxxLxxxxxxdxxxxxdxxxxxdx不妨设12axxb,则将12(,)Lxx分别对求偏导数,得1222212121()()()02()()()02xxabLbaxxxabLbaxxx解得唯一驻点:121(3)41(3)4xabxab又3333()()(,),(,)44166ababbabaLLab故当12axxb时,31212(,)2212bababaMfxdxfxfxLxxM结论成立.命题4,,)(2baCxf设nixfMxfMnabhihahiaxibax,2,1,)(max,)(max,,)1(,8I与I~~如上,则I与I~~的误差满足:)1(~~2nOII.证明:niihahiaiiniihahianiiibaniiihffdxxfffhdxxffnabdxxfII1)1(2121)1(121212122)()()(2)()()(2)()(~~由命题3,得nihMhffdxxfiihahiaii,,2,1,122)()()(3)1(212于是niinMabhMII123312)(12~~即)1(~~2nOII.4.例题对于积分dx14102x,该积分精确值为3.1416.下面分别给出本文所涉及计算方法对它的计算结果:4.1用三种基于几何意义的算法:矩形算法,梯形法,抛物线法作比较,结果如表1:表1几何意义算法的比较分割数算法近似值误差110矩形3.1424129413.8e梯形3.139939837.1e抛物线3.141556981.4e210矩形3.141552813.8e梯形3.141649657.1e抛物线3.14160128110.4e4.2用平均值法,及其改进“类矩形”Monte-Carlo

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