有关定积分问题的常见题型解析(全题型)

有关定积分问题的常见题型解析题型一利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1）13031xxdx（2）941xxdx（3）2224x分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。解：（1）因为3221312xxxxx，所以13031xxdx=321102xxx=32。（2）因为121xxxx，312222132xxxx，所以941xxdx=3229211454326xx。练习：（1）aaxa22（2）2124x评注：利用微积分基本定理求定积分dxxfab)(的关键是找出)()(/xfxF的函数)(xF。如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像，图像为圆或者三角形则直接求其面积。题型二利用定积分求平面图形的面积例2如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的图形面积。分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。解：由方程组232xyxy，可得3,121xx。故所求图形面积为：S＝dxx3132－dxx312＝（x2＋3x）3323113313x。评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：（1）由三条直线x=a、x=b（a＜b）、x轴，一条曲线y=xf（xf≥0）围成的曲边梯形的面积：S＝badxxf，如图1。（2）由三条直线x=a、x=b（a＜b）、x轴，一条曲线y=xf（xf≤0）围成的曲边梯形的面积：S＝babadxxfdxxf，如图2。（3）由两条直线x=a、x=b（a＜b）、两条曲线y=xf、y=xg（xgxf）围成的平面图形的面积：S＝badxxgxf][，如图3。题型三解决综合性问题例3、在曲线2xy（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为121。试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程。分析：设出切点A的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点A的坐标，使问题解决。解：如图，设切点A（00,yx），由y＝2x，过A点的切线方程为y－y0＝2x0（x－x0）,即y＝2x0x－x02。令y＝0,得x=20x。即C（20x，0）。设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，S＝SAOB曲边－SABC。SAOB曲边＝300032310310xxxdxxx，SABC＝21｜BC｜·｜AB｜＝21（x0－20x）·x02＝41x03，即：S＝31x03－41x03＝121x03＝121。所以x0=1，从而切点A（1,1）,切线方程为y=2x－1。评注：本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲线三角形AOC的面积。