第9章 重积分应用案例9.6

第9章重积分及其应用第9章重积分及其应用9.6★重积分应用案例第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例在一个简化的飓风模型中，假定速度只取单纯的圆周方向，,,ha为常量.以海平面飓风中心处作为坐标原点，如果大气密度0()zhze，求运动的全部动能.并问在哪一位置速度具有最大值？0的变化也很大，这里是理想化模型，认为它们是常数，与飓风一、飓风的能量有多大(,)zrhavrzre,rz，其中是柱坐标的两个坐标变量，其大小为a1525,km3050,km为角速度，为风眼半径，一般为大的可达（h0为等温大气高度，为地面大气密度，在飓风中，由于气压很大，的级别无关）.第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例dvvmvdE222121VarhzhzdvreeE20)(2132222000012zrahEdrerdredzE212Emv解计算动能.因为,微元素所以z0,r因为飓风活动空间很大，在选用柱坐标计算中由由0.所以第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例230raredr43,8a其中用分部积分法算得为330303hehdzehzhz,(,)zrhavrzre下面计算何处速度最大.因为,4204208383221ahhaE因此动能为.所以)2(0))1(()1(0)1(arhzarhzarhzearervehrzv第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例ra最大值(实际上是最小值)，舍去.由(2)式解得.此时hzeaezav1),(z,0raz，它是的单调下降函数.故处速度最大.也即海平面上风眼边缘处速度最大.0arhzrev0r0r由(1)式得，显然当时不是第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例二、覆盖全球需多少颗卫星一颗地球同步轨道通讯恒星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道.若使通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动.问卫星距地面的高度h应为多少？试一颗计算通讯卫星的覆盖面积.如果要覆盖全球需多少颗这类卫星？(地球半径取R=6400km)h解设卫星距地面高度为.卫星所受的万有引力为2,()MmGRh2()mRhM卫星所受离心力为.其中m是地球质量，是卫星质量，是卫星运行的角速率，第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例h解设卫星距地面高度为.卫星所受的万有引力为2,()MmGRh2()mRhM卫星所受离心力为.其中m是地球质量，是卫星质量，是卫星运行的角速率，G是万有引力常数.根据牛顿第二定律有22()()MmGmRhRh,g29.8,6400000,,243000gR其中为重力加速度常数.将代入(1)2232222()(1)GMGMRRRhgR从而.第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例2222332264000002436009.86400000436000000()36000().RhgRmkm则有计算一颗通讯卫星的覆盖面积:取地心为坐标原点，地心到卫星中心的联线为z轴建立坐标系，如图9.50xoz所示(为简明，仅画出了平面).图9.50第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例222222222()()1,:sin.xyxyDxyDzzSdxdyxyRdxdyDxyRRxySds一颗通讯卫星的覆盖面积为,其中是上半球面2222(0)xyzRz上被圆锥角所限定的曲面部分.利用极坐标变换第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例2sinsin2222000sin222202222(sin)2(1cos).RRRRrSdrdrRdrRrRrRRrRRRRR利用极坐标变换2222(1)2()4.(2)2()RRhSRRRRhRhRhcossinRRh由于,代入上式得第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例6242824(6.410)0.4252.1910()2.1910().Smkm6636100.4252()2(366.4)10hRh666.410,3610Rh将代入(2)计算出通讯卫星的24R2()hRh注意到地球的表面积为，可知因子恰为卫星覆盖.实际覆盖面积666.410,3610Rh代入面积与地球表面积的比例系数.将第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例cos(1),RRhHRRRRhRh222.hSRHRRh可以看到一颗通讯卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，2SRH(R为球半径，H为球缺高)直接计算.显然，故23的通讯卫星就可以覆盖几乎全部故使用三颗相间为地球表面(即覆盖全球).注：已知卫星离地面距离为h时，其覆盖面积也可用球冠面积公式第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例yxO图9.51zb地球面上平行于赤道的线称为纬线，两条纬线之间的区域叫做环带．假定地球是球形的，试证明任何一个环带的面积均为的距离（两纬线间的距离指的是它们所在的两平行平面间的距离，R证明：首先计算半径为的球面被平面bz)0(Rb所截得到上面那部分球壳2222),(bRyxyxD，如图9.51所示．因上半球面方程为三、地球环带的面积hRS2Rh,其中是地球的半径，是构成环带的两条纬线之间而不是所夹经线的长度）．AxOy，它在面上的投影区域为的面积第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例222yxRz,所以DyxdxdyzzA221DdxdyyxRR222rdrrRRdbR2202220)(2bRR.bz显然纬线（平面与球面的交线）与赤道所成的环带的面积为如果两纬线在同一半球(南半球或北半球)，不妨设两纬线在与球面的交线，则环带的面积为Rb2.现计算环带的面积．azhaz)0(Ra及北半球且分别为平面第9章重积分及其应用§9.6重积分应用案例如果两纬线有一条在北半球，别一条在南半球，与球面的交线，则环带的面积为由此可知环带的面积与环带在地球上的位置无关．Rh2．RhhaRRaRRS2)(2)(2;azhaz)0(Ra及不妨设它们分别为由平面RhhaRRaS2)(22.h，则环带的面积均为也就是说只要环带的两条纬线的距离为