分部积分法-复合分部积分法公式

分部积分法前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法——分部积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。问题?dxxex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(xuu和)(xvv具有连续导数,,vuvuuv,vuuvvu,dxvuuvdxvu.duvuvudv分部积分公式一、基本内容注分部积分公式的特点：等式两边u,v互换位置分部积分公式的作用：当左边的积分udv不易求得，而右边的积分vdu容易求得利用分部积分公式——化难为易例1求积分.cosxdxx解（一）令,cosxudvdxxdx221xdxxcosxdxxxxsin2cos222显然，选择不当，积分更难进行.vu,解（二）令,xudvxdxdxsincosxdxxcosxxdsinxdxxxsinsin.cossinCxxx分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v一般来说，u,v选取的原则是：（1）积分容易者选为v（2）求导简单者选为u分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。例2求积分.2dxexx解,2xu,dvdedxexxdxexx2dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx（再次使用分部积分法）,xudvdxex总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)u例3求积分.arctanxdxx解令,arctanxudvxdxdx22xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxxdxxxxx222112arctan2dxxxx)111(21arctan222.)arctan(21arctan22Cxxxx若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降次、简化、代数化、有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。u例4求积分.ln3xdxx解,lnxu,443dvxddxxxdxxln3dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx总结例5求积分.)sin(lndxx解dxx)sin(ln)][sin(ln)sin(lnxxdxxdxxxxxx1)cos(ln)sin(ln)][cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxxdxxxxx)sin(ln)]cos(ln)[sin(lndxx)sin(ln.)]cos(ln)[sin(ln2Cxxx注：本题也可令xtln分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一定要加上积分常数C例6求积分.sinxdxex解xdxexsinxxdesin)(sinsinxdexexxxdxexexxcossinxxxdexecossin)coscos(sinxdexexexxxxdxexxexxsin)cos(sinxdxexsin.)cos(sin2Cxxex注意循环形式例7dxx3sec解dxx3secxxdtansecdxxxxxsectantansec2xdxxdxxx3secsectansecxdxxxxx3sec)tanln(sectansecCxxxxxdx)tanln(sec21tansec21sec3例8)(sinNnxdxn解xdxxdxnncossinsin1xdxnxxxnn221sin)1(coscossinxdxnxxnn21sin)1(cossinxdxnnsin)1(xdxnnxxnxdxnnn21sin1cossin1sin若设xdxInnsin则上述计算公式可表为211cossin1nnnInnxxnI——递推公式反复使用递推公式，最后归结为求xsin的一次幂或零次幂的不定积分例9dxeexxarctan解一令xeudxeexxarctanduuuu1arctan)1(arctanuudduuuuu2111arctan1duuuuuu]11[arctan12Cuuuu)1ln(21lnarctan12Cexeexxx)1ln(21arctan2解二直接分部积分dxeexxarctanxxdeearctandxeeeeexxxxx21arctandxeeexxx211arctan对dxex211分子分母同乘以xedxex211dxeeexxx)1(2令xeuduuu)1(12)1ln(21ln2uu或分子分母同乘以xe2dxex211dxeeexxx)1(222)()1(121222xxxedee令xet2dttt)1(121dttt]111[21)]1ln([ln21tt解三彻底换元令xetarctan则txtanlntdttdx2sectan1dxeexxarctantdtttt2sectan1tandttt2sin1tdttdcottdtttcotcotCtttsinlncotCeeeexxxx21lnarctanCexeexxx)1ln(21arctan2例10dxxexxx)1(1[分析]需要将xxe作为整体来考虑解分子分母同乘以xedxxexxx)1(1dxxexeexxxx)1()1(令xxetdttt)1(1Ctt)1ln(lnCxexxx)1ln(ln例11求积分.1arctan2dxxxx解,1122xxxdxxxx21arctan21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxxdxxxxx222111arctan1dxxxx2211arctan1令txtandxx211tdtt22sectan11tdtsecCtt)tanln(secCxx)1ln(2dxxxx21arctanxxarctan12.)1ln(2Cxx例12xdxexcos解xdxexcosxxdecos1xdxexexxsincos1xxxdexesincos12xdxexexexxxcossincos1222Cxxexdxexx]sincos[cos22类似地有Cxxexdxexx]cossin[sin22例13已知)(xf的一个原函数是2xe,求dxxfx)(.解dxxfx)()(xxdf,)()(dxxfxxf,)(2Cedxxfx),()(xfdxxf两边同时对求导,得x,2)(2xxexfdxxfx)(dxxfxxf)()(222xex.2Cex合理选择，正确使用分部积分公式vu,dxvuuvdxvu二、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？思考题解答注意前后几次所选的应为同类型函数.u例xdxexcos第一次时若选xucos1xdxexcosdxxexexxsincos第二次时仍应选xusin2