高等数学不定积分讲义

第3、4次课4学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：不定积分的概念与性质教学要求：1.理解不定积分的概念2.理解不定积分的性质；3.熟记基本积分表。重点：不定积分的性质和基本积分表难点：不定积分的概念教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.不定积分的概念（25）2.不定积分的性质（30）3.基本积分表（30）4.习题（90）课后作业参考资料不定积分的概念与性质1、复习13个基本导数公式.2、原函数与不定积分的概念.（1）定义1在区间I上，如果可导函数Fx的导函数为()fx，即对任一xI，都有'()Fxfx或()dFx=dxxf)(，那么函数Fx就称为()fx(或fxdx)在区间I上的原函数.（2）原函数存在定理如果函数()fx在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数Fx,使对任一xI都有F(x)()fx.注：1、如果函数()fx在区间I上有原函数Fx,那么()fx就有无限多个原函数.()FxC都是()fx的原函数.(其中C是任意常数)2、()fx的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果(x)和Fx都是()fx的原函数,则()xFxC(C为某个常数).简单地说就是,连续函数一定有原函数.定义2在区间I上,函数()fx的带有任意常数项的原函数称为()fx(或dxxf)()在区间I上的不定积分.记作dxxf)(,其中记号称为积分号,()fx称为被积函数,dxxf)(称为被积表达式,x称为积分变量.3、例题讲解.例1因为sinx是cosx的原函数,所以Cxxdxsincos.因为x是x21的原函数,所以Cxdxx21.例2.求函数xxf1)(的不定积分解：当0x时，(lnx)x1，Cxdxxln1(0x).当0x时，[ln(x)]xx1)1(1，Cxdxx)ln(1(0x).合并上面两式,得到Cxdxx||ln1(x0).例3.求2.xdx解由于'323xx，所以33x是2x的一个原函数，因此323xxdxC.4、变式练习5、积分曲线函数()fx的原函数的图形称为()fx的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系)(])([xfdxxfdxd或dxxfdxxfd)(])([.又由于()Fx是'Fx的原函数,所以CxFdxxF)()(或记作CxFxdF)()(.6、基本积分表（略）.例4.dxxdxx331CxCx21321131.例5.dxxdxxx252Cx1251251Cx2772Cxx372.7、不定积分的性质.性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.这是因为,])([])([])()([dxxgdxxfdxxgdxxff(x)g(x).性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即dxxfkdxxkf)()((k是常数,0k例6.dxxxdxxx)5()5(21252.dxxdxx21255dxxdxx21255Cxx232732572.例7.dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323Cxxxxdxxdxxdxdxx1||ln3321113322.8.变式练习(1)2dxxx(2)31()xdxx(3)22xxdx（）(4)(3)xxdx(5)4223311xxdxx(6)221xdxx(7)xdxxxx34134（-+-）2(8)2232()11dxxx(9)xxxdx(10)221(1)dxxx(11)211xxedxe(12)3xxedx(13)2cotxdx第5次课2学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1.掌握第一类换元积分法重点：第一类换元积分法难点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.第一类换元积分法理论（25）2.练习（65）课后作业参考资料第一类换元积分法1、回顾旧知（1）复习13个常见积分公式（2）思考：cos2sin2xdxxC对吗？2、第一类换元法.设()fu有原函数()Fu()ux且()x可微那么根据复合函数微分法有''''[()]()()[()]()[()]()dFxdFuFuduFxdxFxxdx即)(])([)()]([)()]([xuduufxdxfdxxxf()[()C]uxFu[()]CFx定理1设()fu具有原函数()ux可导则有换元公式CxFCuFduufxdxfdxxxf)]([)()()()]([)()]([3、讲授例题.例11cos2cos2(2)2xdxxxdx1cos2(2)2xdx211cossin22uxuduuC令1sin22xC例2dxxxdxx)23(23121231)23(23121xdx32111ln||22uxduuCu令Cx|23|ln21例3xdxdxxxxdxcoscos1cossintan=ln|cos|xC例4求6secd.xx解6222secd(tan1)secxxxxdx42(tan2tan1)dtanxxx5312tantantan53xxxC4、变式练习.１）dxx3)23(２）332xdx３）dtttsin４）)ln(lnlnxxxdx５）xxdxsincos６）xxeedx７）dxxx)cos(2８）dxxx4313第6次课2学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1.掌握第一类换元积分法重点：第一类换元积分法难点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.练习（90）课后作业参考资料第一类换元积分法1、复习旧知.（1）13个常见的积分公式.（2）第一类换元积分法.2、例题讲解（较难的积分）.例1.xdxxxdxsinsinsin23xdxcos)cos1(2xxdxdcoscoscos2Cxx3cos31cos例2.dxxxdx22cos1cos2)2cos(21xdxdxxxddx22cos4121Cxx2sin4121例3.dxxxdxsin1cscdxxx2cos2sin21Cxxxdxxxd|2tan|ln2tan2tan2cos2tan22ln|cscxcotx|C即xdxcscln|cscxcotx|C例4.dxxxdx)2csc(secCxx|)2cot()2csc(|lnln|secxtanx|C即xdxsecln|secxtanx|C3、变式练习.1）dxxx3cossin2）dxxx24913）122xdx4）dxx3cos5)xdxx3cos2sin6)xdxxsectan37)dxxx2398)dxxx22sin4cos319)dxxx2arccos211010)dxxxx)1(arctan4、小结（1）分项积分：利用积化和差;分式分项;221sincosxx等；（2）降低幂次：利用倍角公式,如221122cos(1cos2);sin(1cos2)xxxx.（3）统一函数:利用三角公式;配元方法.（4）巧妙换元或配元第7次课2学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第二类换元积分法教学要求：1.理解第二类换元积分法重点：第二类换元积分法难点：第二类换元积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.第二类换元积分法理论（25）2.练习（65）课后作业参考资料第二类换元积分法1、复习第一类换元积分法.2、第二类换元法.（1）定理1设xt是单调的、可导的函数并且t0又设f[t]t具有原函数Ft则有换元公式CxFtFdtttfdxxf)]([)()()]([)(1其中t1x是xt的反函数这是因为)()]([1)()]([)(})]([{1xftfdtdxttfdxdttFxF3、例题讲解.例1.求dxxa22(a0)解:设sinxax，22t那么22xatataacossin222cosdxatdt于是tdtatadxxacoscos22Cttatdta)2sin4121(cos222因为axtarcsin,axaaxttt222cossin22sin所以dxxa22Ctta)2sin4121(2Cxaxaxa22221arcsin2.例2求2.49dxx解原式221d(2)2(2)3xx21ln2492xxC.例3求.1xdxe解为了消去根号，设1xet，则2ln(1),xt221tdxdtt.所以2221112(1)1111xdxtdtdtdtttttte111lnln111xxteCCte.4、变式练习.１）dxxx211２）dxxsin３）dxxx42４）)0(,222adxxax５）32)1(xdx６）xdx21７）21xxdx８）211xdx第8次课2学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：分部积分法1教学要求：1.掌握分部积分法重点：分部积分法难点：分部积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.分部积分法理论（25）2.练习（65）课后作业参考资料分部积分法1、提出问题：求解xxedx（让学生试着求解）.2、分部积分公式.设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv,移项得uv(uv)uv.对这个等式两边求不定积分得vdxuuvdxvu或vduuvudv这个公式称为分部积分公式思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。3、例题讲解.例1求xxedx.解设,,xuxdvedx那么,.xdudxve于是xxxxxxxedxxdexeedxxeeC.例2求lnd.xxx解令'ln,,uxvx则'211,2uvxx.原式2221111lndln2224xxxxxxxC.例3求sind.xexx解设sin,.xuxvecos,xuxve.则原式sincosdxxexexx.再令cos,xuxve.则sin,xuxve.故原式sincossindxxxexexexx.故12sind(sincos)xxexxexxC.说明:也可设,xuev为为三角函数,但两次所设类型必须一致.注：(1)'()fxdxudvuvvduuvvudx凑微分公式.(2)'vudx应较()fxdx易积分.(3)熟悉了分部积分