第十章 第三节 三重积分

目录上页下页返回结束第十章第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分第十章目录上页下页返回结束一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),,(),,(kkkkv引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,,),,(Czyx求分布在内的物质的可得nk10limM“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为目录上页下页返回结束定义.设,),,(,),,(Ωzyxzyxfkkknkkvf),,(lim10存在,),,(zyxfvzyxfd),,(称为体积元素,vd.dddzyx若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域上连续,则存在,),,(使得vzyxfd),,(Vf),,(V为的体积,积和式”极限记作目录上页下页返回结束二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法,0),,(zyxf先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:目录上页下页返回结束zxyDDyxdd方法1.投影法(“先一后二”)DyxyxzzyxzΩ),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),,(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),,(),(),(21d),,(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),,(ddyxzyxfdd),,(细长柱体微元的质量为),(2yxzz),(1yxzz微元线密度≈记作yxddO目录上页下页返回结束ab方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为zD以该物体的质量为bazDyxzyxfdd),,(zDbayxzyxfzdd),,(dzzDzzyxfd),,(面密度≈zd记作xyzO目录上页下页返回结束投影法方法3.三次积分法设区域:利用投影法结果,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyx),(),(21d),,(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目录上页下页返回结束当被积函数在积分域上变号时,因为),,(zyxf2),,(),,(zyxfzyxf),,(1zyxf),,(2zyxf均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),,(),,(zyxfzyxf目录上页下页返回结束小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyxzDbayxzyxfzdd),,(d),(),()()(2121d),,(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.目录上页下页返回结束其中为三个坐标例1.计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域.解::zyxxddd)1(01021d)21(dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10x481面及平面1xyz121O目录上页下页返回结束xyz例2.计算三重积分解::zyxzddd2cczczbazd)1(π2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczzd23π154cbaabc用“先二后一”zDzO目录上页下页返回结束xyz2.利用柱坐标计算三重积分,),,(3RzyxM设,,,代替用极坐标将yx),,z（则就称为点M的柱坐标.zπ200sinyzzcosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),,(zyxM)0,,(yxO目录上页下页返回结束如图所示,在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),,(其中),sin,cos(),,(zfzF适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddzzddddxyzddO目录上页下页返回结束2axyzO其中为例3.计算三重积分xyx2220),0(,0yaazz所解:在柱面坐标系下:cos202ddcos342π032acos2020az0及平面zvdddd2π0dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos2围成半圆柱体.目录上页下页返回结束OOxyz例4.计算三重积分解:在柱面坐标系下hhz42dhh2022d)4(1π2h202d1π20dzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面zvdddd原式=目录上页下页返回结束3.利用球坐标计算三重积分,),,(3RzyxM设),,,(z其柱坐标为就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,zOMzr),,(r则π0π200rcossinrxsinsinrycosrz坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面,rOM令),,(rMsinrcosrzMxyzO目录上页下页返回结束rddrdd如图所示,在球面坐标系中体积元素为dddsind2rrv因此有zyxzyxfddd),,(),,(rF其中)cos,sinsin,cossin(),,(rrrfrF适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.dddsin2rrxyzO目录上页下页返回结束xyzO例5.计算三重积分解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.4π0Rr0π20其中与球面dddsind2rrvRrr04d)22(π515R4π0dsinπ20d4πRr目录上页下页返回结束例6.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,,cos0:3ar利用对称性,所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossinπ322π03a3π31a3cosar,2π0π202π0dsin2π0d4yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xOzdddsind2rrvyzxaOr目录上页下页返回结束内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),,(),,(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),,(ddd),,(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成;目录上页下页返回结束2,zxz1.将.)(),,(Czyxf用三次积分表示,,2,0xx,42,1yxyvzyxfId),,(其中由所提示:xy2121I2d),,(xzzyxfxy2121d20dx思考与练习六个平面围成,:目录上页下页返回结束2.设计算提示:利用对称性原式=122ddyxyx0奇函数目录上页下页返回结束3.设由锥面和球面所围成,计算提示:zOxy24利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标rrd420dsin4020d221564目录上页下页返回结束作业P1621(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);*10(2);11(1),*(4)第四节目录上页下页返回结束备用题1.计算所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.目录上页下页返回结束所围,故可思考:若被积函数为f(y)时,如何计算简便?表为解:目录上页下页返回结束4zxy1O2.计算其中.4,1),(2122围成由zzyxz解:利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd2121zD