微积分基本原理

第二节微积分基本定理•（一）变限积分与原函数•（二）牛顿—莱布尼茨公式•小结设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，xadxxf)(考察定积分xadttf)(记.)()(xadttfx变上限积分如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，（一）变限积分与原函数连续函数上的为则上可积在设定理]b,a[dt)t(f,b][a,f(x)1.6xa.]b,a[dt)t(f)x(,b][a,f(x))(2.6xa上连续且可导在则上连续在设原函数存在定理定理abxyoxx证dttfxxxxa)()()()(xxxdttfdttfxaxxa)()()(xxdttfdttfdttfxaxxxxa)()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得xf)(],,[xxxxx,0),(fx)(limlim00fxxx).()(xfxabxyoxx)(xx如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则dttfxFxbxa)()()()(的导数)(xF为补充)()()()(xaxafxbxbf证dttfxFxaxb)()(0)()(0dttfxb)(0)(,)()(0dttfxa)()()()()(xaxafxbxbfxF)()()()(xbxadttfdxdxFdttsin(5)sintdt(4)xdxcosdad,xdxcosdxd(3)xdxcos(2)dte)1(1322xx2x0baba1-x2x0cost求下列函数的导数例例2求.lim21cos02xdtextx解1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.0)x(F)b,a(dt)t(fa-x1F(x):0(x)f,b)(a,,b][a,f(x)3xa内满足在证可导在连续在设例)x(y),x(yy0tdtcosdte4x0y0t求确定函数例内的极值点在求例)23,2(dttcos1tsint)x(f5x02xtan0xsin00xdttsindttantlim6求例)7(f,xdt)t(f,f(x)71x03求为连续函数例例8设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明1)(20dttfxx在]1,0[上只有一个解.证,1)(2)(0dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在]1,0[上为单调增加函数.,01)0(F10)(1)1(dttfF10)](1[dttf,0所以0)(xF即原方程在]1,0[上只有一个解.令（二）牛顿—莱布尼茨公式（原函数存在定理）)a(F)b(F|)x(Ff(x)dxf(x),(x)F,b][a,f(x)3.6baba则且连续在设定理又dttfxxa)()(也是)(xf的一个原函数,已知)(xF是)(xf的一个原函数，],[bax证C)x(Fdt)t(fxaC)a(Fdt)t(faa)a(FC),()()(aFxFdttfxa令bx).()()(aFbFdxxfba定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.dttfxxa)()(就是)(xf的一个原函数,cdt)t(fdt)t(fxa注意当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.2321004202xdxsin2x1)3(dxxsinxsin)2(dxe(1)9求下列积分例31-dxx-2(1)10求下列定积分例（2）.},max{222dxxx解由图形可知},max{)(2xxxf,21100222xxxxxx21210022dxxxdxdxx原式.211xyo2xyxy122例11求解.112dxx当0x时，x1的一个原函数是||lnx,dxx12112||lnx.2ln2ln1ln例12计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解面积xyo0sinxdxA0cosx.2)x(fdx)x(f,1f(t)dtxf(x),[0,1]f(x)131010及求且连续在设例3.微积分基本公式1.积分上限函数xadttfx)()(2.积分上限函数的导数)()(xfx)()()(aFbFdxxfba三、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．思考题设)(xf在],[ba上连续，则dttfxa)(与duufbx)(是x的函数还是t与u的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？思考题解答dttfxa)(与duufbx)(都是x的函数)()(xfdttfdxdxa)()(xfduufdxdbx一、填空题：1、baxdxedxd22=_______.2、xadxxfdxd))((__________.3、223)1ln(xdtttdxd_______.4、20)(dxxf____，其中21,210,)(2xxxxxf.5、设,coscos1nxdxmxIdxnxmxsinsin，练习题（1）、当nm时，1I=__,2I=_____，（2）、当nm时，1I=___,2I=_____.6、设,sincosnxdxmx（1）、当nm时，3I=____,（2）、当nm时，3I=_____.7、94)1(dxxx_____.8、33121xdx_____.9、xdttxx020coslim________.二、求导数：1、设函数)(xyy由方程0cos00xyttdtdte所确定，求dxdy；2、设12122,ln,lnttuduuyuduux)1(t,求22dxyd；3、xxdttdxdcossin2)cos(；4、设2031)(xxdxxg，求)1(g.三、计算下列各定积分：1、2122)1(dxxx;2、212121xdx;3、012241133dxxxx;4、20sindxx.四、求下列极限：1、xtxtxdtedte022022)(lim;2、2502021)cos1(limxdttxx.五、设)(xf为连续函数，证明:xxtdtduufdttxtf000))(())((.六、求函数xdttttxf02113)(在区间1,0上的最大值与最小值.七、设时，或，当时，当xxxxxf000,sin21)(求xdttfx0)()（在),(内的表达式.八、设baxf,)(在上连续且,0)(xfxaxbtfdtdttfxF)()()(,证明：（1）、2)('xF;（2）、方程0)(xF在),(ba内有且仅有一个根.一、1、0；2、)()(afxf；3、)1ln(23xx；4、65；5、(1),；(2)0,0；7、;61458、6；9、1.二、1、1sincosxx；2、ttln212；3、)sincos()cos(sin2xxx；4、2.三、1、852；2、3；3、14；4、4.练习题答案四、1、0；2、101.六、335,0.七、xxxxx,10,)cos1(210,0)(.