9-2(2)-利用极坐标计算二重积分

,bxa).()(21xyx利用直角坐标系计算二重积分［X－型区域］:)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf,dyc).()(21yxy［Y－型区域］:)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxDxy1例6改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图.10,10:xyxD也可表示为.10,10:yxyD例7计算由四个平面x0y0x1y1所围成的柱体被平面z0及2x3yz6截得的立体的体积四个平面所围成的立体如图解:dxdyyxVD)326(1010)326(dyyxdx10102]2326[dxyxyy1027)229(dxx所求体积为28102.||,:||,DIyxdxdyDxy例求其中xy0112解.||2中的绝对值符号去掉必须将xy两部分分成将区域抛物线212、DDDxy11,0:21xxyD11,2:22xyxD22122),(),(||),(DyxxyDyxyxxyyxf21)()(22DDdxdyxydxdyyxIdyxydxdyyxdxxx2211021122)()(15462D1D第三节二重积分计算方法（二）利用极坐标计算二重积分AoDiirriirrriiiiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(,iiirr.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf一、利用极坐标系计算二重积分·.)sin,cos()()(21rdrrrfdADo)(1r)(2r二重积分化为二次积分的公式(一)区域特征如图,).()(21r.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxfAoD)(r.)sin,cos()(0rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式(二)区域特征如图(曲边扇形),).(0rDrdrdrrf)sin,cos(Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfd极坐标系下区域的面积.Drdrd二重积分化为二次积分的公式(三)区域特征如图(极点在区域内部)).(0rDoA)(r,20例1写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx解在极坐标系下sincosryrx所以圆方程为1r,直线方程为cossin1r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd例2计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下D：ar0，20.dxdyeDyx22arrdred0202).1(2aexy0a例3计算dyxD22，其中D圆环域babyxa0,2222.解D：bra，20.dyxD2220bardrrd)(31233ab)(3233abxxdyyxdx2212210)(求解积分区域D如图所示}tansec0,40|),{(DDxxdddyyxdx12122102)(ddtansec040112tansec40d例4.第四节三重积分的概念及计算法（直角坐标系下计算法）一、三重积分的定义.,),,(),,,(),,(,:Mzyxzyxzyx物体的质量试求该为连续函数且处的密度为上的点它在域设有一物体占据空间区例方法：分割,取近似,求和,取极限个小块把物体任意分n.,,,21nVVV),,,()(iiiiiVV取一点体积也记在每一小块iiiiiVM),,(niiiiiniiVMM11),,(则niiiiiVM10),,(lim定义:设),,(zyxf是空间有界闭区域上的有界函数.(1).将闭区域任意分成n个小闭区域1v，2v,,nv,其中iv表示第i个小闭区域,也表示它的体积.(2).在每个上任取一点),,(iii作乘积iiiivf),,(，其中),,2,1(ni，并作和iiiniivf),,(1.(3).如果iiiniivf),,(lim10存在(}max{的直径iv)，则称此极限为函数),,(zyxf在闭区域上的三重积分，记为：dvzyxf),,(即dvzyxf),,(iiiniivf),,(lim10..叫做体积元素其中dv,的平面来划分用平行于坐标面在直角坐标系中，如果.lkjizyxv则三重积记为dxdydzzyxf),,(iiiniivf),,(lim10..积元素叫做直角坐标系中的体其中dxdydzV二、三重积分的计算xyzoD1z2z2S1S),(1yxzz),(2yxzzab)(1xyy)(2xyy),(yx如图，,Dxoy面上的投影为闭区域在闭区域),,(:),,(:2211yxzzSyxzzS,),(作直线过点Dyx穿出．穿入，从从21zz方法一(投影法）：直角坐标系中将三重积分化为三次积分计算函数，则的只看作看作定值，将先将zzyxfyx),,(,),(),(21),,(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分在闭区间计算DyxF),(.]),,([),(),(),(21DyxzyxzDddzzyxfdyxF,),()(:21bxaxyyxyD得：Ωfx,y,zdv=.),,()()(),(),(2121baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意：投影法是把三重积分化为二次积分和一次积分，且积分顺序为“先一后二”，因此也称为“先一后二”法.例1化三重积分dxdydzzyxfI),,(为三次积分，其中积分区域为由曲面222yxz及22xz所围成的闭区域.解由22222xzyxz,得交线投影区域：,122yxxyzo：22222221111xzyxxyxx,.),,(11221122222xyxxxdzzyxfdydxI设有一物体占有空间闭区域{(xyz)|0x10y10z1}在点(xyz)处的密度为(xyz)xyz计算该物体的质量101010)(dzzyxdydxdxdydzM1010)21(dyyxdx10102]2121[dxyyxy102)1(21x10)1(dxx23例2解221111122Ω=x,y,z|x+yz,--xy-x,-x111112222),,(yxxxdzzyxfdydxI积分区域可表示为:由曲面zx2y2及平面z1所化三重积分dxdydzzyxfI),,(积分，其中积分区域xozy例3解为三次围成.计算3)1(zyxdxdydz其中为平面x0y0z0xyz1所围成的四面体3)1(zyxdxdydzyxxdzzyxdydx1031010)1(1{(xyz)|0z1xy0y1x0x1}解xyxdyzyxdx1010210])1(21[xdyyxdx10210]81)1(21[例4xozy111积分区域可表示为:dxyyxx1010]81)1(21[dxxx10]8183)1(21[102]16183)1ln(21[xxx)852(ln21xozy111xdyyxdx10210]81)1(21[截面法的一般步骤：(1)把积分区域向某轴（例如z轴）投影，得投影区间],[21cc；(2)对],[21ccz用过z轴且平行xoy平面的平面去截，得截面zD;(3)计算二重积分zDdxdyzyxf),,(其结果为z的函数)(zF；(4)最后计算单积分21)(ccdzzF即得三重积分值.z方法二：用截面法计算三重积分.zzDccdxdyzyxfdz),,(21dvzyxf),,(截面法是把三重积分化为一次积分和二次积分，且积分顺序为“先二后一”，因此也称为“先二后一”法.说明:例8计算三重积分zdxdydz，其中为三个坐标面及平面1zyx所围成的闭区域.解（一）zdxdydz,10zDdxdyzdz}1|),{(zyxyxDz)1)(1(21zzdxdyzD原式102)1(21dzzz241.xozy111利用截面法计算zdxdydz解（二）：zzydxdyzdz101010zdyzyzdz1010)1(102)1(21dzzz241.化为三次积分计算1zyx