信号与系统 微分方程式的经典解法

信号与系统§2.3微分方程经典求解法信号与系统n阶常系数微分方程的求解法thesolutionmethodforconstant-coefficientdifferenceequationofNth-order全响应=齐次方程通解+非齐次方程特解（自由响应）（受迫响应）全响应=零输入响应+零状态响应（解齐次方程）（卷积法）时域分析法（经典法）变换域法（第四章拉普拉斯变换法）微分方程求解信号与系统n阶线性时不变系统的描述一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述()xt()rt阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。-1101-1101dd()()()dddd()()()ddnnnnnnmmmmmmaytaytaytttbxtbxtbxttt若系统为时不变的，则，均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。kakb信号与系统一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为时的方程的解，初始条件:0t齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式1ekntkkC注意：重根情况处理方法（修改齐次解的形式）特解：根据微分方程右端函数式（自由项）形式，设含待定系数的特解函数式，代入原方程，比较系数定出特解。+2+n-1++2n-1dy(0)dy(0)dy(0)y(0)dtdtdt,,,,经典法kC完全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数线性时不变系统经典求解信号与系统齐次微分方程1ekntkkC特征方程特征根0)()()(011-n1ntyatydtdatydtdannnnaaaannnn11100齐次解形式：（和特征根有关）12,,,n齐次解线性时不变系统经典求解信号与系统特征根齐次解的形式rrtkkrtrtetCteCeC12112,abjbteCbteCatatsincos21btetDbtteDbteDbtetCbtteCbteCatkkatatatkkatatsinsinsincoscoscos121121kr对于每一个单根k重实根ajb1,2k重复根线性时不变系统经典求解rtCe给出一项信号与系统3232ddd()7()16()12()()dddrtrtrtrtetttt解：系统的特征方程为327161202230122,3重根tthAAtAtr33221ee)(特征根因而对应的齐次解为求微分方程齐次解解：系统的齐次方程为3232ddd()7()16()12()0dddrtrtrtrtttt例信号与系统esin()attecos()att12[cos()Bsin()]ateBωtωt自由项响应函数r(t)的特解EBpt1121ppppBtBtBtBeatekatBtcos()tsin()t12cos()sin()BtBtesin()patttecos()pattt11211121()ecos()()esin()pptpppptppBtBtBtBtDtDtDtDt或12[cos()sin()]atteBtBt当a是k重特征根时当a＋jb不是特征根当a＋jb是特征根线性时不变系统经典求解信号与系统如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。)(d)(d3d)(d2d)(d22tettetrttrttr,e)()2(;)()1(2ttette给定微分方程式3221p)(BtBtBtr这里为待定系数，将此式代入方程得到321,,BBBttBBBtBBtB232234323212121例：（1），自由项为，选特解函数式为2()ett22tt信号与系统等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有032223413321211BBBBBB联解得到2710,92,31321BBB所以，特解为27109231)(2ptttr信号与系统te31于是，特解为tttttBBBeee3e2e31Bp()()()hrtrtrt(2))()(phtrtr求出的齐次解和特解相加即得方程得完全解当将其代入方程的右端，可求得自由项为很明显，可选这里，B是待定系数。代入方程后有：()etet()etprtB。2et信号与系统22dd()6()5()ddtytytytett(0)'(0)0yy例：求微分方程的完全解2650512()tthytCeCe解:齐次方程为特征方程：特征根：该方程的齐次解为：1251，22dd()6()5()0ddytytyttt()tpytCte此处，自由项即为激励函数。其中中a=-1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：线性时不变系统经典求解信号与系统t-t-t-t-22)(5)(dd6)(ddeCteCtetCtet代入原微分方程得求得41C所以特解为tptety41)(完全解为tttphteeCeCtytyty41)()()(251代入初始条件求得161,16121CC所以有041161161)(5tteeetyttt0)0()0(’yy线性时不变系统经典求解或写为5111()()16164tttyteeteut信号与系统完全解中的齐次解称为系统的自由响应,特解称为系统的强迫响应.特征方程根i(i=1,2,…,n)称为系统的“固有频率”(或“自由频率”)完全响应自由响应强迫响应上例中完全解的分解如下:041161161)(5tteeetyttt信号与系统经典法求解微分方程的流程将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统列写微分方程齐次解（系数A待定）tAe特解查表完全解=齐次解+特解（A待定）已定系数A的完全解—系统的响应给定系统状态求出对应状态00