6定积分——求曲线的弧长

平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni10lims机动目录上页下页返回结束则称一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfyabxoyxMxxMy1lim0MMMMx机动目录上页下页返回结束则弧长微分公式为ttytxsd)]([)]([d22xysd)(1d2或22)(d)(ddyxs若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx机动目录上页下页返回结束弧微分公式sdyxabo(1)曲线弧由直角坐标方程给出:)(xfy弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs机动目录上页下页返回结束(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs机动目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)]([)]([22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):机动目录上页下页返回结束例10.求连续曲线段解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4机动目录上页下页返回结束例11.计算摆线一拱的弧长.解:tstytxd)()(d2dd2dd)cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8机动目录上页下页返回结束xyoa2d222aa例12.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:)0(aarxa2oard)()(22rrsdd12ad1202as(P257积分公式)212a21ln2102小结目录上页下页返回结束