高数第十二章 全微分方程

1第五节全微分方程全微分方程及其解法积分因子2一、全微分方程及其求法(,)(,)(,)duxyPxydxQxydy如果一阶微分方程(,)(,)0(1)PxydxQxydy():u=ux,y的左端恰好是某一个函数的全微分(1)则称方程为全微分方程.3例如对于方程,0ydyxdx221(()),2xdxydydxy所以方程是全微分方程.全微分方程的判别(,)(,)0PxydxQxydy是全微分方程PQyx4全微分方程的解法()yx如果是全微分方程1(,)(,)0(1)PxydxQxydy,的解则有(,())0duxx,(,())uxxC因此()(,)yxuxyC即是由所确定的隐函数.(,)(,)(,)PxydxQxydyduxy其中50uudyxxydx两端对求导,得(,())uxxC0uudxdyxy即有(,)(,)0PxydxQxydy亦即(,)(1).uxyC这表明由所确定的隐函数是方程的解,(,)(),uxyCyx反之如果确定一个可微的隐函数则6:结论如果方程(,)(,)0(1)PxydxQxydy(,)uxyC(,),uxy的左端是函数的全微分则C就是该微分方程的隐式通解.其中为任意常数.yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0000(,)(,)(,)yxyxuxyQxydyPxydx或(,)uxy的求法7423222(53)(33)01xxyydxxyxyydy解例求Qx423222()53,()33Px=xxyyQxxyxyy解263Pxyyy.所以方程是全微分方程423200(,)(53)xyuxyxxyydxydy522333123xxyxyy8所以原方程的通解为522333123xxyxyyC(,)uxy另解设满足42322253,33uuxxyyxyxyyxy,x第一式对积分得52233()2uxxyxyy9,y上式对求导得2233'()uxyxyyy22233xyxyy31()3yy2'()yy所以5223331(,)23uxyxxyxyy于是522333123xxyxyyC故原方程的通解为10.0324223的通解求方程dyyxydxyx解,64xQyxyP方程是全微分方程,将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy)()1(32yxdyd.132Cyxy原方程的通解为),1(32yxyd例2凑全微分法11有些方程被判定是全微分方程后，不必按上述一般方法求解，可以采取“分项组合”的方法,先将那些本身已构成全微分的项分出,再把剩余的项凑成全微分。一些简单的二元函数全微分有：222222()()()(ln)1(arctan)(ln)2ydxxdyxydxxdydxydyyydxxdyyydxxdyxddxxxyyydxxdyxydxxdyxyddxyyxyxy12二、积分因子法问题:如何求方程的积分因子?(,)(,)(,)(,)0xyPxydxxyQxydyx,y如果有一个适当的函数=(定义)使,(,)xy是全微分方程则称函数是方程(,)(,)0PxydxQxydy.的积分因子13在简单的情形,可用观察法求积分因子.0.ydxxdy求解方程例32()xydxxdydyy解因21,y用乘以原方程的两端得20ydxxdyy就化为一个全微分方程.()0又xdy.xCy所以原方程的通解为141.,:0ydxxdy同一方程可以有不同的积分因子例如注22221111,,,.xyxyxy的积分因子有,,因此在具体解题过程中由于所用的积分因子不同，从而通解可能具有不同的形式.2.,在实际解方程时可以采取“分项组合”的方法,先将那些本身已构成全微分的项分出,再把剩余的项组合,再考虑积分因子.15(1)(1)0.xyydxxyxdy求微分方例程的通解4解分项组合()()0ydxxdyxyydxxdy22()()0dxdydxyxyxy即22()()0dxydxdyxyxy11ln||ln||xyCxy积分得1xyxCey或16可降阶高阶微分方程第六节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第十二章17一、)()(xfyn解法：连续积分n次,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程例1.解:12cosCxdxeyx12sin21Cxexxey241xey281xsin21xC32CxCxcos21CxC18例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力F均匀地减直到t=T时F(T)=0.如果开始时质点在原点,解:据题意有tFoT0FF0(1)tFT)1(0TtFt=0时设力F仅是时间t的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初速度为0,且对方程两边积分,得19120)2(ddCTttmFtx利用初始条件,01C得于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用,02C得故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx20),(yxfy型的微分方程设,)(xpy原方程化为一阶方程设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy二、21例3.求解yxyx2)1(2,10xy30xy解:代入方程得pxpx2)1(2分离变量积分得,ln)1(lnln12Cxp,30xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10xy,12C得133xxy因此所求特解为22例4.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低点A到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有Mθgsρoyx)(gHa其中yxyxd102a1故有211yay设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:TA点受水平张力HM点受切向张力T两式相除得HA23MsgoyxHA211yya,aOA设则得定解问题:),(xpy令,ddxpy则原方程化为两端积分得2Arshln(1)ppp,shAr1Cpax,01C得则有两端积分得02C得故所求绳索的形状为axaych)(2axaxeeaa24三、),(yyfy型的微分方程令,ypxpydd则xyypdddd故方程化为设其通解为),,(1Cyp即得分离变量后积分,得原方程的通解25例5.求解代入方程得两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp即(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:xpydd则xyypddddyppdd26M:地球质量m:物体质量例6.静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力).解:如图所示选取坐标系.则有定解问题:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,ddtyv设tvtydddd22则代入方程得积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由yoRl27,1122lyMkv,ddtyvtdyylyMkld2两端积分得,0lyt利用,02C得因此有lylyylarccos2,,0000lyyvttt利用lMkC21得28由于y=R时由原方程可得因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为)arccos(212lRlRRlglRtRy22ddtym,2yMmkyoRl29说明:若此例改为如图所示的坐标系,Ryol22ddtym,00ty00ty，令tyvdd解方程可得问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.则定解问题为30例7.解初值问题解:令02yey,00xy10xy,yp,ddyppy则代入方程得积分得1221221Cepy利用初始条件,,0100xyyp,01C得根据yepxydd积分得,2Cxey,00xy再由12C得故所求特解为xey1得31内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令,yp令,yp32思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或哪个方便用哪个.均可.2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例6例733P2851(1),(3),(8);2(1)*;P2921(5),(6),(10);2(1),(6);3作业