柯西积分公式

第五节柯西积分公式一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考2一、问题的提出.,0中一点为为一单连通域设BzB,d)(0Czzzzf一般不为零所以.)(,)(00不解析在那末内解析在如果zzzzfBzf根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值..0的闭曲线内围绕为zBC3,,00zzzC的正向圆周半径为很小的为中心取作以积分曲线,)(的连续性由zf,)(0处的值接近于它在圆心的缩小而逐渐的值将随着上函数在zzfC)(.d)(d)(000缩小将接近于CCzzzzfzzzzfCzzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC4二、柯西积分公式定理CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(π21)(,,,,)(000那末内任一点为于它的内部完全含闭曲线内的任何一条正向简单为内处处解析在区域如果函数D0zC证,)(0连续在因为zzf,0则,0)(5D0zCK,0时当zz.)()(0zfzf,:)(,00的内部全在的正向圆周半径为为中心设以CRzzKRRzRCzzzzfd)(0则Kzzzzfd)(0KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000Kzzzzfzfzifd)()()(20006Kszzzfzfd)()(00.π2dKsR上不等式表明,只要R足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕]Czzzzfizfd)(21)(00柯西积分公式柯西介绍Kzzzzfzfd)()(007关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,0ieRzzC是圆周如果.d)(π21)(π2000ieRzfzf8三、典型例题例1解44.d3211)2(;dsin21(1)zzzzzzzzi求下列积分4dsin21(1)zzzzi,sin)(在复平面内解析因为zzf,40内位于zz94.d3211)2(zzzz44d32d11zzzzzz2212ii.6i4dsin21zzzzi;0由柯西积分公式0sin221zzii10例22.d1zzzze计算积分解,)(在复平面内解析因为zezf,21内位于zz由柯西积分公式122d1zzzzeizze.2ie11例3.d)1(1212izzzz计算积分解)1(12zz))((1izizzizizz)(1)(zf,21)(内解析在因为izzf,0iz由柯西积分公式212d)1(1izzzz21d)(1izzizizzizizzi)(122212ii.i12例４解).1(,d173)(,3222ifzzfyxCC求表示正向圆周设根据柯西积分公式知,,内时在当Czzizf)173(π2)(2),173(22zzi),76(2)(zizf故,1内在而Ci).136(2)1(iif所以13例5;211(1):,d14sin2zCzzzC其中计算积分解2112d14sin)1(zzzz211d114sinzzzzz114sin2zzzi;22i14例5;211(2):,d14sin2zCzzzC其中计算积分2112d14sin)2(zzzz211d114sinzzzzz114sin2zzzi;22i解1522d14sin)3(zzzz由闭路复合定理,得例5.2(3):,d14sin2zCzzzC其中计算积分解22d14sinzzzz2112d14sinzzzz2112d14πsinzzzzii2222.2i16例6.πd)cos(sin,dπ0cos1ezzezz并证明求积分解根据柯西积分公式知,1dzzzze02zzei;2i)ππ(,irez令,1rz1dzzzzedππiireirereeidππieei17dsincosππieiππcosπ0cosd)sin(sind)cos(sin2eeidππieei,π2d1izzezz因为ππcosπ0cosd)sin(sind)cos(sin2eei1dzzzze比较两式得.πd)cos(sinπ0cose18课堂练习.d)1(32zzzzze计算积分答案1,1,0zzz有三个奇点).2(d)1(132eeizzzezz19四、小结与思考柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西–古萨基本定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.Czzzzfizf.d)(21)(00柯西积分公式:20思考题柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?21思考题答案可以.,)(要做一些限制但对函数zf,)(上解析及边界在设CGzf))(,,0,0()(,zfRzRzfz时使当即一致趋于零时并且当,内任意一点则对G,d)(π21)(Czzzfif有其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按Esc退出.23作业：•P798.(1)(4)(6)(10).•9.