高数曲线积分与曲面积分 格林公示及其应用

一、格林公式二、曲线积分与路径无关的条件第二节格林公式及其应用复连通区域单连通区域DD连通区域.称为复连通区域则为平面单连通区域，否，则称的部分都属于内任一闭曲线所围成为平面区域，如果设DDDD.(1).(1))(),(),(格林公式叫做公式的取正向的边界曲线是其中续偏导数，则有上具有一阶连在及成，函数围由分段光滑的曲线设闭区域定理DLQdyPdxdxdyyPxQDyxQyxPLDLD格林公式连成与由21LLL组成与由21LLL2LD1L2L1LD边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域总在观察者的左边.D,}),()(),{(21bxaxyxyxD证明:.}),()(),{(21dycyxyyxD.)1(至多交于两点和平行于坐标轴的直线型，即型又是既是若区域LYXDyxOabDcd)(1xy)(2xyCE)(2yx)(1yxBAdxxQdydxdyxQyydcD)()(21dcdcdyyyQdyyyQ12)),(()),((CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(.),(LdyyxQ同理可证.),(LDdxyxPdxdyyPyxOabDcd)(1xy)(2xyCE)(2yx)(1yxBAL1L2L3LD1D2D3D两式相加得LDQdyPdxdxdyyPxQ)(DdxdyyPxQ)(.,)2(如图所示段光滑的闭曲线围成由按若区域D.,,321DDDYXD型的区域型又是分成三个既是将.)(321DDDdxdyyPxQ1)(DdxdyyPxQ321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLQdyPdx).,,(321来说为正方向对DLLL3)(DdxdyyPxQ)(2DdxdyyPxQL1L2L3LD1D2D3DGD3L2LFCE1LAB由(2)知DdxdyyPxQ)(CEAFCBALAB2{CGAECLQdyPdx)(}3.,,,,,.,)3(32构成及的边界曲线由则线段闭曲线所围成，添加直若区域不止由一条CGAECLCEAFCBALABDCEABLQdyPdx231))((LLLQdyPdx).,,(321来说为正方向对DLLLGD3L2LFCE1LAB格林公式的实质：沟通了沿闭曲线的曲线积分与二重积分之间的联系..LDQdyPdxdxdyQPyx格林公式也可以写成xyOLABDBOABOAL解LDxdydxdy,BOABOAxdyxdyxdyABxdy00Ddxdy（取正向的边界曲线）.412r.1第一象限部分的圆在是半径为曲线，其中计算例rABxdyAB，则应用格林公式，令xQP,0引入辅助曲线：.,OABOBOABOAyDydyxedxdye221022dxxedyxexOAy).1(211e解.2yeyPxQ则，令2,0yxeQP应用格林公式,有.)1,0()1,1()0,0(22为顶点的三角形闭区域，，是以，其中计算例BAODdxdyeDyxyOB11DA解.)(22222yPyxxyxQ，令,2222yxxQyxyP.1DL所围成的闭区域为记时，有则当022yx.322为逆时针方向的方向的连续定的闭曲线分段光滑且不经过原点为一条无重点，，其中计算例LLyxydxxdyLxyOLD.022LyxydxxdyL1Drlyxo时，当)0,0()1(D由格林公式知时，当)0,0()2(D应用格林公式,得,:222ryxlD内的圆周作位于.1所围成和由记lLDlLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL,02222lLyxydxxdyyxydxxdy.2(注意格林公式的条件)2022222sincosdrrr(其中l的方向取逆时针方向),2LDydxxdydxdy利用格林公式计算平面图形的面积LDQdyPdxdxdyyPxQ)(：格林公式.21LydxxdyAD的面积闭区域,,得取xQyP,0，得取xQP0,，得取QyP.LxdyA.)(LdxyA解LydxxdyA212022)sincos(21dabab.sin,cos4的面积所围成图形求椭圆例byax2021dab.ab1LQdyPdx2LQdyPdxGyxO1L2LBA曲线积分与路径无关的条件.,否则与路径有关内与路径无关在则称曲线积分GQdyPdxL内有如果在区域G.)1()(),(),(内恒成立在的充要条件是：分为零内任意闭曲线的曲线积或沿内与路径无关在曲线积分，则内具有一阶连续偏导数在，数是一个单连通区域，函设开区域定理GxQyPGGQdyPdxGyxQyxPGL证明充分性由格林公式直接得证.下面证明条件(1)是必要的.用反证法..0)(0MyPxQ.0yPxQKKMGGyPxQ上恒有，使得在域半径足够小的圆形闭区为圆心，内取以内连续，在在、由于0，使得内存在一点不妨设在MG由格林公式及二重积分的性质有)(KdxdyyPxQQdyPdx.0QdyPdx这与假设相矛盾，即条件(1)是必要的.的面积，是的正向边界曲线，是这里KK所以二元函数的全微分求积.)2(),(),(),(),(),(内恒成立在全微分的充要条件是：的内为某一函数在，则内具有一阶连续偏导数在，数是一个单连通区域，函设开区域定理GxQyPyxuGdyyxQdxyxPGyxQyxPG证明),(，使得假设存在某函数yxu,),(),(dyyxQdxyxPdu则必有.),(,),(yxQyuyxPxu从而有.,22xQxyuyPyxu由定理的条件，有.xQyP即条件(2)是必要的.先证必要性.再证充分性.(3)),(),(),(),()(0,0dyyxQdxyxPyxuyxyx),(),(是连续的，因此证明、因为yxQyxP.),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu.),(,),(yxQyuyxPxu下面证明写作曲线积分可内与路径无关，把这个曲线积分在的终点为可知，起点为定理内恒成立，则由在设条件),(,),(2)2(000GyxMyxMG由偏导数的定义，有.),(),(lim0xyxuyxxuxux由(3)式，得),(),(),(),()(0,0dyyxQdxyxPyxxuyxxyx积分路径就有作到，然后从无关，可以取先从由于积分与积分路径0NMMMOxy),(000yxM),(yxM),(yxxNOxy),(000yxM),(yxM),(yxxN),(),(yxuyxxu.),(),(),()(,dyyxQdxyxPyxxyx所以),(),(yxuyxxu),(),(),()(,dyyxQdxyxPyxxyx.),(dxyxPxxx由定积分中值定理，得).10(,),(),(),(xyxxPyxuyxxu因此得到.),(yxPxu,xQyP若),(),(1100yxByxAQdyPdx则dxyxPxx),(100dyyxQyy),(100dyyxQyy),(101.),(101dxyxPxx同理可证.),(yxQyu即条件(2)是充分的.),(01yxC),(11yxBxyO),(00yxA),(10yxD解.1523所以原积分与路径无关，xyxxxQ2)(42xxyxyyP2)2(2xQyP101042)1(dyydxx原式=.2sin)1,1()0,0()()2(5422xyBOLdyyxdxxyxL的曲线弧到点由点为，其中计算例解,2)(2xyxyyyP),()]([xyxyxxQ,),(2xyyxP),(),(xyyxQ.xQyP由积分与路径无关可知.)(0)0()(6)1,1()0,0(22dyxydxxydyxydxxyL，计算曲线积分具有连续的导数，且其中与路径无关，设曲线积分例100dx.21,)(2cxx.)(2xx10ydy)1,1()0,0(2)(dyxydxxy故xyxy2)(由,0,0)0(c知由