2010年考研冲刺班微积分上(三十六技之7-10)

水木艾迪电话：[phone]地址：清华同方科技广场B座503室1考研数学三十六技微积分上（三十六技之7-10）清华大学数学科学系刘坤林主讲三十六技之七：正确运用定积分性质，处理变限积分与含参积分的技巧积分定义四部曲，理解到位很重要。积分性质多醒悟，保序性质须知道。估值比较是推论，重要场合常用到。积分极限交叉题，需要脱掉积分号。积分式内有参数，处理方法有技巧。定积分的重要性质性质包括：积分的保序性（估值定理与比较性质）与中值定理、变限积分的连续性与可导性，还有变限积分的处理技巧，这些概念与方法广泛用于与积分有关的极限问题、等式与不等式证明等综合分析题目中。关于变限积分的两个重要结论（两把快刀）：(1)若)(xf在],[ba上可积（常用的充分条件为：)(xf在],[ba上连续或分段连续）,则变上限积分∫=xadttfxF)()(定义的函数在],[ba上连续。[注]此时)(xF不一定可导，因此)(xF不一定是)(xf在],[ba上的原函数。(2)若)(xf在],[ba上连续,则变上限积分∫=xadttfxF)()(定义的函数在],[ba上可导,且)()(xfdttfdxdxa=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫。同时，变下限积分∫bxdttf)(也是可导函数。且)()(xfdttfdxdbx−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫。【注】此时)(xF一定是)(xf在],[ba上的一个原函数。例7-1设),()(+∞−∞∈Cxf，0)(≥xf且∫=xdttfxf0)()(，则对)(xf在),0[+∞上错误的结论为（）。(A)可微。(B))(xf严格单调增加。(C)有任意阶导数。(D)恒等于零。【解】答案(B)。(A)(C)显然正确。因为),()(+∞−∞∈Cxf，且∫=xdttfxf0)()(，所以)(xf可导，且)()(xfxf=′，解得xCexf=)(。由0)()0(00==∫dttff，解出0)0(==fC，因此0)(≡xf。因此(D)正确。处理含有参数积分问题的重要技巧（两把快刀）：积分号内含有参数的问题是一类重要题型，这类问题往往需要对参数求导数。典型方法有两个（积分式内有参数，处理技巧有快刀）：（1）当参数以因子形式出现在积分号内时，则将含参数的因子移到积分号外面，（2）如无法将含参数的部分移到积分号外面，则引入变量替换。水木艾迪电话：[phone]地址：清华大学创业大厦10062例7-2（2005-2-15：11分）设函数)(xf连续，且0)0(≠f，求极限dttxfxdttftxxxx)()()(lim000−−∫∫→【解析与点评1】本题主要考点是：（1）含参积分处理方法；（2）极限分析计算与罗必达法则；（3）变限积分求导数；（4）积分中值定理。水木艾迪考研辅导班教学中含有不少此类例题，可参见基础班综合辅导第2讲例2.21，例2.25,例2.27,水木艾迪考研辅导暑期强化班第4讲例39-43，例55-56等例题，系列教材《2005考研数学应试导引与进阶》中也有许多这样的典型例题和方法，如例6.74,例6.78，例7.22等。刘坤林等编写，清华大学出版社2004年7月出版。【解】首先取变换txu−=，则∫∫∫∫==−=−xxxxdttfduufudufdttxf0000)()()()()(，因此dttfxdtttfdttfxdttxfxdttftxxxxxxxx∫∫∫∫∫−=−−→→0000000)()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim0000xxfxfxfxxfdttfdttfxxxx+=+=→→∫∫ξξ21)0()0()0(=+=fff其中xξ0，0→x时0→ξ，上述第2个等号用了罗必达法则。例7-3已知)(xf连续，且20=→xxfx)(lim，设∫=10dtxtfxF)()(，求)(xF′，并讨论)(xF′的连续性。【解】首先由知)(xf连续及极限等式应有00=)(f，其次令0≠==xxdudtxtu,,，则有⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∫00010xxduufxxFx)()(当0≠x时，∫−−=′xdttftxxxxfxF0221)()()()(为连续函数。1200200===′→→∫xxfxduufFxxx)(lim)(lim)(（导数定义！）因此，⎪⎩⎪⎨⎧=≠−−=′∫010)()2(1)()(02xxdttftxxxxfxFx水木艾迪电话：[phone]地址：清华同方科技广场B座503室3)0(112)(1lim)(lim)(lim02000FudufxxxfxFxxxx′==−=−=′∫→→→，所以)(xF′在),(+∞−∞处处连续。例7-4设)(xf在),[∞+0上可导，00=)(f，其反函数为)(xg，若xxfxxexdtxtg2)()(∫+=−，求)(xf。【解】令dudtuxt==−,，xxfxxxfexduugdtxtg2)()(0)()(∫∫+==−对昀后一个等号两侧关于x求导数，注意到xxfg=))((，得到xxexxexfx22)(+=′，当0≠x时有xxxeexf+=′2)(，积分得到C)1(2)(+−+=xeexfxx由)(xf在0=x处连续，Cxfx=→)(lim0，又0)0(=f，解出1−=C，于是1)1(2)(−−+=xeexfxx。例7-5设]1,0[)(Cxf∈，证明∫∫∫++=+10010)(ln)()1(ln)(lnduufduufufdttxfx．【解】对右端采用区间变换：令utx=+，dudx=，则有∫∫∫∫−==+++xxxxduufduufduufdttxf010110)(ln)(ln)(ln)(ln，∫∫∫+−=+10011)(ln)(ln)(lnduufduufduufxx将∫+11)(lnxduuf化为形如∫x0的积分，令1−=uv，得到∫∫∫+=+=+xxxduufdvvfduuf0011)1(ln)1(ln)(ln，所以∫∫∫++=+10010)(ln)()1(ln)(lnduufduufufdttxfx。积分的保序性与比较性质的综合应用积分等式与不等式证明技巧例7-6设dxxxI∫=401tanπ，dxxxI∫=402tanπ，则(B).（A）121II。（B）211II。（C）112II。（D）121II。【解】注意到当]4,0(π∈x时，xxxftan)(=，22tansec)(xxxxxf−=′，0cossincossincossincos)(2222−−=′xxxxxxxxxxxf，)(xf单调增加。于是=∫dxxxI401tanπ1440=∫dxππ，另有xx22tan，水木艾迪电话：[phone]地址：清华大学创业大厦10064因此xxxxxxxxtan)tan(tantan2=，由积分比较性质，应选(B)。例7-7求极限dxxnxnn∫+−∞→1011sinlim.答案:111sin+。【解】dxxnxn∫+−1011sin∫∫+++=+=1021010111)sin(cossinsinxxdxxxxxdxnnn记dxxxxInn∫+=1021)sin(cos，则11010+=≤∫ndxxInn因此nnnnIdxxnx∞→−∞→++=+∫limsinsinlim1111101111sin+=例7-8极限=+∫+∞→xxtxdtet21lim（）。（A）1.（B）0.（C）21.（D）不存在。【解】答案为（B）。由初等函数（xex,）性质，0∃X，使当0Xx，且]2,[xxt∈时，有tet+10xex+12，由积分保序性及比较性质得到xxxxxxtexxdtexdtet+=++∫∫12121022，应用夹逼定理，得到01lim2=+∫+∞→xxtxdtet。例7-9证明∫∫+≤+2020221cos1sinππdxxxdxxx.【证】（方法1：区间变换+估值定理）移项考虑：∫∫+−++−=2424021cossin1cossinπππdxxxxdxxxxI，对上述第二个积分令xt−=2π，则有∫+−=2021cossinπdxxxxI∫∫−+−++−=402402)2(1sincos1cossinπππdttttdxxxx∫−+−+−=4022])2(1111)[cos(sinππdttttt水木艾迪电话：[phone]地址：清华同方科技广场B座503室50)2(1)1()4)(cos(sin40222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++−−=∫ππππdtttttt，（方法2：区间变换+中值定理）考虑∫+−=2021cossinπdxxxxI，∫∫+−++−=2424021cossin1cossinπππdxxxxdxxxxI∫−+=4021)cos(sin11πξdxxx∫−++2422)cos(sin11ππξdxxx其中)2,4(),4,0(21ππξπξ∈∈，对上述第二个积分令xt−=2π，则有∫−+−+=402221)cos(sin)1111(πξξdxxxI0)21)(1111(2221−+−+=ξξ例7-10设],[)(2baCxf∈，0)()(==bfaf，证明)(max4)(xfabdxxfbxaba≤≤−≥′′∫．【证】设)(max)(0xfxfbxa≤≤=，根据微分中值定理，分别有),(01xa∈ξ与),(01xa∈ξ使得),)(())(()()(01010axfaxfafxf−′=−′+=ξξ),)(())(()()(02020bxfbxfbfxf−′=−′+=ξξ注意到dxxfdxxfdxxfba∫∫∫′′≥′′≥′′2121)()()(ξξξξ))(()()()()()()(000000012axbxabxfaxxfbxxfff−−−=−−−=′−′=ξξ。)(max4xfabbxa≤≤−≥应注意二次函数级值问题：4)())(()(2000abaxbxxg−−≥−−=，所以4)())((200abaxbx−≤−−。例7-11设)(xf在],[20π上连续，)(xf′在),(20π内连续，且满足0202=⋅∫dxxfx)(cosπ,证明:存在),(20πξ∈与),(20πη∈，分别使得ξξξtan)()(ff2=′与ηηηtan)()(ff=′。水木艾迪电话：[phone]地址：清华大学创业大厦10066【证】首先由分部积分，=⋅∫dxxfx)(cos202π02220=′⋅+⋅−−∫dxxfxxfxxx))(cos)(sincos(π，由被积函数的连续性，则存在),(20πξ∈，使得022=′⋅+⋅−))(cos)(sincos(ξξξξξξff，其次，,cos0≠ξξ必有02=′⋅−⋅−))(cos)(sinξξξξff，即有ξξξtan)()(ff2=′。另由分部积分得到：=⋅∫dxxfx)(cos202πxdxfxsin)(cos∫⋅20πdxxxfxfxx))(sin)((cossin−′⋅−=∫20π020=⋅⋅−′⋅−=∫dxxffπηηηηsin))(sin)((cos，其中),(20πη∈。又,sin0120≠=⋅∫dxxπ因此0=⋅−′⋅))(sin)(cosηηηηff，即有ηηηtan)()(ff=′。例7-12设()fx在[,]()abab上连续，且()0bafxdx=∫，()0baxfxdx=∫，证明：至少存在两点1212,(,),xxabxx∈≠，使得12()()fxfx=成立。【证】设∫=xadttfxF)()(，则0)()(==bFaF，又∫∫∫−==babababadxxFxxFxxdFdxxxf)()()()(0