微积分(上)D2_3高阶导数

二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数第二章一、高阶导数的概念速度即sv加速度即)(sa引例：变速直线运动机动目录上页下页返回结束定义.若函数)(xfy的导数)(xfy可导,或即)(yy或)dd(dddd22xyxxy类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为n阶导数,或)(xf的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束设求解:1ayxa221nnxan212ayxa3232)1(nnxann依次类推,nnany!)(233xa例1.思考:设,)(为任意常数xy问可得机动目录上页下页返回结束nx)1(,,3xaeay例2.设求解:特别有:解:!)1(n规定0!=1思考:,xaey.)(ny,xaeay,2xaeayxanneay)(xnxee)()(例3.设求,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy)(ny1)1(nxy11y2)1(1x,机动目录上页下页返回结束例4.设求解:xycos)sin(2x)cos(2xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2xy)3sin(2x一般地,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n机动目录上页下页返回结束例5.设bxeyxasin解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求为常数,),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa机动目录上页下页返回结束例6.设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析:)(xf0x,43x0x,23xxxfx02lim)0(300xxfx04lim)0(3000x0x)(xf,122x,62x)0(fxxx206lim0)0(fxxx2012lim0)(xf但是,12)0(f,24)0(f)0(f不存在.2又0x,24x0x,12x阶数机动目录上页下页返回结束二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)!2)1(nn!)1()1(kknnn莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数推导目录上页下页返回结束例7.求解:设,,22xveux则xkkeu2)(2,2xv,2v0)(kv代入莱布尼兹公式,得)20(yxe22022xxe219220x2!219202xe2182)20,,2,1(k)20,,3(k机动目录上页下页返回结束例8.设求解:,112xy即1)1(2yx用莱布尼兹公式求n阶导数)1(2xx22令得由得)0()12(my)0(!)2()1(ymm0)0()2(my12,!)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即),2,1,0(m由得)0(!)2()1()0()12(ymymm机动目录上页下页返回结束内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!)1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,机动目录上页下页返回结束思考与练习1)()1(!)1(2nnnxny3,)1(!1)(nxnynn1.如何求下列函数的n阶导数?xxy11)1(xxy1)2(3解:解:机动目录上页下页返回结束2312xxy1121xxy11)()1(1)2(1!)1(nnnnxxny(3)12)1)(2(1xBxAxx提示:令)2(xA原式2x)1(xB原式1x11机动目录上页下页返回结束xxy66cossin)4(xxxx4224coscossinsinx2sin431283)(nyn433ba)(ba)(22baba)4cos(2nx22cos1sin2解:机动目录上页下页返回结束1)]([!nxfn2.(填空题)(1)设,cos)23()(1622xnxxxf则)2()(nf16cos)1(2xxn16cos)1(2xxn提示:各项均含因子(x–2)nx)2(!n22!n(2)已知)(xf任意阶可导,且2n时)()(xfn提示:,)]([)(2xfxf则当)(xf)()(2xfxf3)]([!2xf)(xf)()]([3!22xfxf4)]([!3xf机动目录上页下页返回结束3.试从导出解：yxyyxdddddd22y1xddyxddy1同样可求33ddyx(见P101题4)作业P1011(9),(12);3;4(2);8(2),(3);9(2),(3)第四节目录上页下页返回结束解:设求其中f二阶可导.备用题机动目录上页下页返回结束