经典高等数学课件D4-2[1] 第一类换元积分

11.不定积分定义复习)()(xfxF或若在I内，()d()fxxFxC2.不定积分的性质0,021kk1212[()()]d()d()dkfxkgxxkfxxkgxx3.微分与积分的关系d()d()dfxxfxx(()d)CFxFxd()()d()d()FxfxxfxxFxC4.直接积分法：通过恒等变形,利用线性性把所给积分变成公式中有的形式，求出积分的方法.25.基本积分公式;arctanCx;arcsinCxKx+CCx11);1(12345dKxdxxxxd112xxd112xxdln;xCdu?u3;cosCx;sinCx;tanCx;cotCx;secCx;cscCx;Cex;lnCaax6xxdsin7xxdcos82secdxx92cscdxxxxxdtansecxxxdcotcscxexdxaxd10121113sind?ttsin2d?xxcostCcos2?xC4二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法第四章5第一类换元法[()]()dfxxx基本思路：()(),()Fufuux设可导,则有[()]()dfxxx[()]FxC()()duxfuu()[()]uxFuC[()]Fx[()]()fxx()()duxfuu()d()fuuFuC[()]d()fxx即()()duxfuu6一、第一类换元法定理1.(),(),fuux设有原函数可导则有换元公式[()]()dfxxx()dfuu()ux(())d()fxx(也称凑微分法)即[()]()dfxxx说明：1.[()]fx()dxx(())fxd()x说明被积表达式可看成的微分,x2.公式说明了积分形式的不变性，即()d()fuuFuC若[()]d()fxx(())FxC()dfuu()ux这是积分符号的优点.sinxCcosdxx如：sinxCcosd()xx则7[()]FxC令()xu()FuC回代()ux关键：将化为：()dgxx()dfuu)(xgdx[()]fxd)]([x[()]d[()]fxx若能若好求例1.求x2cos2dx.解:x2cos2dxx2cosd(2x)ux2令.2sinCxCusinxu2回代ucosducosdsinuuuC3.如何用公式？8注意换回原变量C解:令uaxulnaxu回代.lnCax例2.求1dxxaax1dxax1d(x-a)u1du例3.求1d32xxdln;uuCu令32xu1ln2uC回代32ux1ln32.2xC解:12112udu32x1d32xxd(32)x9说明：)(baxf.)d1(faxbxd)(baxa12.对变量代换较熟练后，就可以不写出中间变量，可直接凑微分，所以第一类换元法又叫“凑微分法”.ud()x2xe.C解:例4.22dxxex求22dxxex2xed)(2x解:原式=例5.211cosdxxx求.1sinCxx1cosd1()xduueueCcosdsinuuuC211d()dxxx101.一般地：11d(())mmxfx1d()mmfxxx11m说明：2.这一部分的题型变化多端,最好能把用过的方法记下来,起码有“似曾相识”的感觉.这一部分需要灵活的、有经验的头脑.经验来自于不断地积累;经验来自于实践.故需要多做题多积累.3.记住几个重要微分公式：1dd()xaxba21dd()2xxx211dd()xxx1dd(2)xxx1dd(ln)xxx4.记住微分法则:d()()dfxfxx11解:原式=.323Cex例6.xex31求dx.3d(2)xex)3(3123xexd例7.求21xxdx.解:原式=.)1(31232Cx21dx21-()212)1(x1d(1)1uuxC1dd(2)xxx21dd()2xxx12例8.求12lnxdlnx解:原式=1212lnxd(12ln)x例9.求解:sindcosxxxdcoscosxxcosdsinxxxdsinsinxx类似tandlncos,xxxCCxxxsinlndcotdln;uuCu13原式=Caxaarctan1即解：例10.221d.(0)xaax求221d1()xaxa2d()11()xaxaa2211darctanxxCaxaa例如.求2d23xxx22d(1)(2)(1)xx2d2(1)xx.21arctan22Cx2darctan1uuCu14原式=arcsinxCa即解：例11.221dxax求(0)a21d1()xaxa2d()1()xaxa221darcsin.xxCaax2darcsin1uuCu21d?4xxx如：21d4(2)xx2arcsin.2xC152211dln2xaxCxaaxa解：.ln21CaxaxaCaxaxa]ln[ln21例12.求22d(0).xaxa＞原式1d()()xxaxa]11[21axaxadx111[dd]2xxaxaxa即例如.2d=23xxx？22d(1)2xx.31ln41Cxx1[d()d(])2axaxaxaxa16解：24sinsin)d(sin)xxx(例13.求23sincosd.xxx原式3511sinsin35xxC22sincosd(sin)xxx解：1[1dcos2d]2xxx例14.求.dcos2xx11[cos2d(2)]22xxx11(sin2)22xxCxxd)2cos1(21原式经验：对于sincosdmnxxx拆开奇次幂凑微分，若m,n均为偶数,则用降幂公式,降为一次.22(1sinsind(si)n)xxx21cos22cosxx21cos22sinxx17解:)],cos()[cos(21coscosBABABA),5cos(cos212cos3cosxxxx.5sin101sin21Cxx例15.求.d2cos3cosxxxcos3cos2dxxx1(coscos5)d2xxx变形方法：积化和差11cosdcos5d22xxxx18解法1:Cx2tanln.cotcsclnCxx例16.求cscdxxcscdxx1dsinxx1d2sincos22xxx)2()2(cos2tan12xxxd1d(tan)2tan2xxcscdlncsccot.xxxxC所以2secdd(tan)uuu19sin2o2tans2cxxx1cossinxxxxcotcscsin1cosxx2cos22cos2sin22xxx2cos2sin2xxsin(1cos)(1cos)(1cos)xxxx2sin1c1costan21osc1cosossinxxxxxxx20解法2:xucosCuu11ln21Cxxcos1cos1ln21类似地1dsinxx2sindsinxxx2d(cos)1cosxx21d1uusecdlnsectan.xxxxClncsccot.xxCcscdxxd()2xlncsc()cot()22xxClnsectan.xxC2211dln2xaxCxaaxacscdlncsccot.xxxxC21例17.求解:sectanxx(sectan)xx2secsectandsectanxxxxxxsectanxxd(sectan)xxcscdlncsccotxxxxCsecdlnsectanxxxxC公式：6secd?xx222(sec)sdecxxx22(1tan)(tadn)xx3521tantantan35xxxC2secdd(tan)xxxsectandd(sec)xxxx22解法1：4611tantan46xxC解法2：6411secsec.64xxC原式原式=例18.求32tansencd(ta)xxx231tatan()(ta)nnxxxd)(tand)tan(tan53xxx)(secdsectan32xxx)(secdsec)1(sec32xxx)(secd)sec(sec35xxx43sectand.xxx经验：对于tansecd:mnxxxm为奇数时,化为(sec);fxn为偶数时,化为(tan).fx注意：积分方法不同,结果的形式不同.2secdd(tan)xxx23例19.求d.1xxe解法1:(1)d1xxxeexedxd1xxexeln(1)xxeCd?1sinxx解法2:d(1)xxxexeed()(1)xxxeeed(1)ttt11[]d1tttlnln(1)ttCln(1)xxeC解法3:d1xxexed(1)1xxeeln(1)xeCdd()xxexe24基本积分表(2)14.tandlncos;xxxC15.cotdlnsin;xxxC16.secdlnsectan;xxxxC17.cscdlncsccot;xxxxC221118.darctan;(0)xxCaaxaa22119.darcsin;xxCaax(0)a221120.dln;(0)2xaxCaxaaxa小结:第一类换元法(凑微分法)P205()[()]()d[()d]uxfxxxfuu25常用的凑微分公式：1dd(),0xaxbaa21dd()2xxxdd()xxexe1dd(ln)xxxsindd(cos)xxxcosdd(sin)xxx2secdd(tan)xxx21dd(arctan)1+xxx211dd()xxx1dd(2)xxx26常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:221sincosxx等万能凑幂法11()d()d()nnnnnfxxxfxx111()d()d()nnnnnxfxxfxxx利用积化和差;分式分项(通分的逆运算);利用倍角公式,如(3)统一函数:利用三角公式;配方等方法.(4)巧妙换元或配元,化分母为单项式等.27如：求提示:法1.法2.法3.10)x10d()x11010(x10d()x110上面所举的例子,可以使我们认识到第一类换元积分法所起的作用,像复合函数的求导法则在微分学中一样,第一类换元法经常使用,但此法求积分要比复合函数求导困难,因为这其中需要一定的技巧,而且适当选择变量代换没有一般途径可循,因此要掌握换元法,除了熟悉一些典型的例子外,还要做较多的练习才行.()uxP200作业:P207T2(1-33)的单号题预习：P