二重积分在极坐标系下的计算

二重积分在极坐标系下的计算一、二重积分的极坐标计算公式二、典型例题Odddd.:多于两点的边界曲线相交不与内部的射线过闭区域出发且穿从极点　　的特点区域DDOD考虑典型小闭区域——曲边四边形区域ddddd　极坐标系中的面积元素一、二重积分的极坐标计算公式sincosyxddddyx二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式DDfyxyxfdd)sin,cos(dd),(Odddd计算方法——化为二次积分OD)(1)(2),()(:21D.π20),()(0],,[)(),(2121C其中OD)(1)(2EF)(1)(2),()(:,],[21上取定在)()(21d)sin,cos()(fF,:.d)(FDfdd)sin,cos(d]d)sin,cos([)()(21f)()(21d)sin,cos(df适用范围;,,,)1(极坐标计算可考虑用圆环或扇形区域时为圆域通常简单程表示比较的边界曲线用极坐标方积分区域DD.,)2(22标计算式时可以考虑使用极坐的因通常当被积函数中含有并易于积分函数表达式可以简化被积函数使用极坐标后yx二重积分化为二次积分几种常见的情形OD)(1)(2.),()(:21D情况一：Dfdd)sin,cos(O)(1)(2D;d)sin,cos(d)()(21f.),(0:D情况二：OD)(二重积分化为二次积分几种常见的情形Dfdd)sin,cos(;d)sin,cos(d)(0f.π20),(0:D情况三：O)(D.dd,DSD的面积区域以上各种情形二重积分化为二次积分几种常见的情形Dfdd)sin,cos(;d)sin,cos(dπ20)(0f.,,dde22222ayxaDyxDyx的圆域为半径是中心在原点其中计算解aDyxyx0π20deddde222).e1(π2a.π20,0:aD二、典型例题例1}.10,11),{(,dd),(2xxyxyxDyxyxfD其中积分化为极坐标形式的二次将解,1圆的方程为,cossin1直线方程为Dyxyxfdd),(所以.d)sin,cos(d1cossin12π0f,sin,cosyx因为1yx122yx例2.de,102xx计算结果利用例21DSD显然例3解}|),{(2221RyxyxD}2|),{(2222RyxyxD}0,0{yx}0,0|),{(RyRxyxS1D2DSS1D2DRR2,0e22yx因为Syxyxdde22.dde222Dyxyx122ddeDyxyx所以RyRxyx00dede22;)de(202RxxR00ded22π);e1(4π2R);e1(4π22RSyxyxIdde22又因为122dde1DyxyxI222dde2DyxyxI同理,41I,42I),(4nI所以根据夹逼准则,21III因为);e1(4π)de()e1(4π222220RRxRx所以,时当R.4π)de(202xx即.03,03,4,2:,dd)(222222所围成的平面区域计算xyyxyyxyyxDyxyxD边界曲线的极坐标方程sin2222yyxsin4422yyx6π03yx3π03xyDyxyxdd)(22解sin4sin223π6πdd).32π(15例4.41:,dd)πsin(222222yxDyxyxyxD求解1dd)πsin(4dd)πsin(22222222DDyxyxyxyxyxyxdπsind4212π01D.4积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标轴对称.例5.)(2)(222222222所围成的图形的面积和求由曲线ayxyxayx.41DDSS根据对称性2cos2)(2)(222222ayxayxaayx222).6π,(2cos2aaa得交点1D例6解1dd4ddDDyxyxS2cos26π0dd4aa).3π3(2a.)0(24222222部分立体的体积的那所截得的含在圆柱面内被圆柱面计算一个球体aaxyxazyx例7,2π0,cos20:aDDyxyxaVdd44222cos20222π0d4d4aa).322π(3323a解xyOa2Daxyx222.4)()2()(2)()1(:,dd22222222xyyxyxyxDyxxyID双纽线所围成由下列其中积分区域计算,2cos2)1(2双纽线的极坐标方程为.见图其所围区域D,,是奇函数关于而被积函数轴对称关于由于积分区域yxyxD.0ddDyxxy故xyO例8解,2sin2)2(2双纽线的极坐标方程为.见图其所围区域D,关于原点对称由于积分区域D满足而被积函数xyyxf),(,dd21DyxxyI故xyO.1轴上方的部分的关于为其中xDD))((),(yxyxf),,(yxfxydcossind22sin20202πI2π03d)2(sintttdsin212π03ttdsin2212π03.3232221