4.xls应用留数定理计算实变函数积分

数学物理方法陈尚达材料与光电物理学院数学物理方法第四章留数定理1、留数定理2、应用留数定理计算实变函数积分3、计算定积分补充题数学物理方法4.2应用留数定理计算积分在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计算一些在无穷区间上的积分．例如，光学问题中需要计算菲涅耳积分2200cos()d,sin()dxxxx；热传导问题中需要计算0cos()daxebxx；阻尼振动问题中需要计算积分0sindxxx等．我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算。原因在于被积函数往往不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛顿——莱布尼兹公式计算．可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可以转化为复变函数的环路积分（注意到当积分路径沿实轴时，zx即对应于实积分），再利用留数定理，则积分显得方便易求。数学物理方法利用留数定理计算实积分()fxdx一般可采用如下步骤：（1）添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线；（2）选择一个在围线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数()Fz，使得满足()(),Fxfx通常选用()()Fzfz，只有少数例外；（3）计算被积函数()Fz在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数，然后求出这些留数之和；（4）计算辅助曲线上函数()Fz的积分值。通常我们选择辅助线使得积分简单易求，甚至直接为零。数学物理方法4.2.120(cos,sin)dR型积分这是一个实变量的积分，要用留数计算，可按上面步骤进行讨论。定理设()(cos,sin)fzR为cos,sin的有理函数，且在[0,2]上连续，则201(cos,sin)d2πiRes[(),]nkkRfzz（4.2.1）其中111()(,)i22izzzzfzRz，(1,2,,)kzkn为单位圆:1Cz内部的n个孤立奇点。数学物理方法证明若令i,ze则ii1cos22eezzii1sin2i2ieezzidididzez并且由变换ize知，当从0变到2π时，z恰好沿单位圆周C：1z的正向绕一周，所以有112π01(cos,sin)d(,)d22iiCzzzzRRzz当有理函数111()(,)22iizzzzfzRz在圆周C：1z的内部有n个孤立奇点(1,2,,)kzkn时，则由留数定理有2π01(cos,sin)d2πiRes[(),]nkkRfzz数学物理方法例4.2.1求2π0d2cosI的值.【解】令ize，则22||1||11d21d1ii4122zzzIzzzzzz被积函数21()41fzzz在1z内只有单极点23z，故22322πiRes(),23i14πlim(23)412π3zIfzzzz数学物理方法例4.2.2求2π20d(01)12cos的值。解：令ize，则12||1||11dd1()i(1)()zzziIzzzzzz被积函数在1z内只有单极点0z，其留数为2Re()lim11ziisfz故由留数定理有2121I数学物理方法例4.2.3求2π20cos2d(01)12cosIppp的值。解：令ize，由于2i2i2211cos2()()22eezz，因此22412||1||121d1d2i2i(1)()122zzzzzzIzzzzzpzzppp设421()2i(1)()zfzzpzzp在积分区域1z内函数()fz有二个极点0,zzp，其中0z为二阶极点，zp为一阶极点，而数学物理方法2022342)2220dRes[(),0]lim[()]d()4(1)(12lim2i()zzfzzfzzzpzppzzzpzpzpzppz2212ipp4221Res[(),]lim[()()]2i(1)zppfzpzpfzpp因此24222222πiRes[(),0]Res[(),]112πi2i2i(1)2π1Ifzfzpppppppp数学物理方法4.2.2()d()PxxQx型积分定理设()()()PzfzQz为有理函数，其中(),()PzQz为互质多项式，并且（1）分母()Qz的次数至少比()Pz的次数高两次；（或表为lim()0zzfz）（2）()Qz在实轴上没有零点；则有Im0()()d2πiRes,()()kkzPxPzxzQxQz（4.2.2）特别地，若对应实函数()()()PxfxQx为偶函数，则0Im0()dπiRes[(),]kkzfxxfzz数学物理方法证明：在z平面上，选取积分路径C为上半圆周RC：,Im()0zRz和实轴上线段,Im()0RxRz围成的闭曲线（如右图所示）。在实轴上被积函数即为()()()PxfxQx。取R充分大，使C所围区域包含()fz在上半平面内的一切（有限）孤立奇点，即包含满足条件Im()0kz的奇点。故由留数定理得到z平面x·CRyR3z1zkz2zIm0()d2πiRes[(),]kkCzfzzfzz数学物理方法上式取Im0kz，即为只取上半平面内的奇点求留数和。故有Im0()()dd2πiRes[(),]()RkRCkRzfPxxfzzQxzz如果我们可以证出当R时，()d0RCfzz，那么便可得到()d()PxxQx的计算公式。数学物理方法事实上，对于积分()d0RCfzz，令ie(0)zR，则ididzRe，于是πii0()d()idRCfzzfReRe又因为()Qz的次数比()Pz的次数高两次，所以()lim()lim0()zzzPzzfzQz因此，对于任给的0，当zR充分大时，有ii()()izfzfReRe数学物理方法从而πii0()(Re)idπRCfzdzfRe即lim()d0RCzRfzz故Im0()()dd2πiRes[(),]()kkzPxfxxxfzzQx特别地，若对应实函数()()()PxfxQx为偶函数，则0Im0()dπiRes[(),]kkzfxxfzz数学物理方法例4.2.4计算21d1Ixx的值。解：211()1()()fzzzizi，它具有两个单极点i，其中单极点i在上半平面，且有11Re()lim()()lim2zizisfizifzzii212{}12dxIixi故问题：能否用此方法计算2d1xIxx的值？数学物理方法例4.2.5计算21d(1)nIxx的值。解：211()(1)()()nnnfzzzizi，它具有两个n阶极点i，其中极点i在上半平面，且有112211Re()lim()()(1)!(22)![(1)!]2nnnzindsfizifzndznin2221222(22)!(22)!2{}1[(1)!]22[(1)!]nndxnnIiiixnn故数学物理方法例4.2.6计算201d(1)nIxx的值。解：被积函数21(1)nx是偶函数，故有022011d(1)(1)nnxdxxx因而220111d(1)2(1)nnIxdxxx数学物理方法例4.2.7计算22222d(0,0)()()xIxabxaxb的值。解：22222()()()zfzzazb的分母多项式次数高于分子多项式次数两次，它在上半平面内有两个单极点12i,izazb，所以22222πiRes[(),i]Res[(),i]2πi2i()2i()πIfzafzbababbaab数学物理方法4.2.3i()d(0)axfxexa型积分设()fx为有理分式函数,分母的次数至少比分子的次数高一次，且分母在实轴上没有零点。为了给出这类积分的计算方法，我们先介绍一个约当引理（证明略）：约当引理设C为zR的上半圆周，函数()fz在C上连续且lim()0zfz，则ilim()d0(0)azCzRfzeza（4.2.3）数学物理方法定理对于积分i()d,(0)axfxexa，若取函数i()()azFzfze，并且满足（1）函数i()()azFzfze在复平面（z平面）内除去有限个奇点()kz外处处解析，且奇点不在实轴上。（2）()fx为有理分式函数,分母的次数至少比分子的次数高一次；则有Im0()cosdi()sind2πiRes[(),]kkzfxaxxfxaxxFzz数学物理方法特别地，若对应的实函数()fx为偶函数时，有0Im0()cosdπiRes[(),]kkzfxaxxFzz（4.2.4）若对应的实函数()fx为奇函数时，有0Im0()sindπRes[(),]kkzfxaxxFzz（4.2.5）数学物理方法证明：若选取积分路径C为上半圆周RC：,Im()0zRz与实轴上线段,Im()0RxRz围成的闭曲线，而被积函数取为i()()azFzfze.取R充分大，使C所围区域包含i()azfze在上半平面内的所有孤立奇点，即包围满足条件Im()0kz的奇点，由留数定理知iiIm0()d2πiRes[(),]kazazkCzfzezfzez即iiiIm0()d()d2πiRes[(),]RkRaxazazkRCzfxexfzezfzez数学物理方法因为()fx的分母多项式次数至少比分子多项式次数高一次，所以，lim()0zfz，由约当引理知ilim()d0(0)RazCzRfzeza故iiIm0()2πiRes[(),]kaxazkzfxedxfzez又因为icosisinaxeaxax，所以Im0()cosdi()sind2πiRes[(),]kkzfxaxxfxaxxFzz数学物理方法特别地，若对应的实函数()fx为偶函数时，有0Im0()cosdπiRes[(),]kkzfxaxxFzz若对应的实函数()fx为奇函数时，有0Im0()sindπRes[(),]kkzfxaxxFzz成立。数学物理方法例4.2.8计算220cosd(0)xIxaxa的值。解：因为被积函数为偶函数，所以22cos2dxIxxa先计算i221dxJexxa的值。由于i22zeza在上半平面内有一阶极点ia，所以i22π2πiRes,i2πi2izaaeeJaezaaa从而22cosπ2dRe()axIxJexaa，故π2aIea数学物理方法例4.2.9计算2sind210xxIxxx的值。解：先计算i2210xxJedxxx的值.因为2210zzz在上半平面内有一个一阶极点13iz，所以i22πiRes,13i210zzJezzi(13i)13i2πi6ie3π(cos13sin1)i(3cos1sin1)3e