留数在定积分计算中的应用

§5.3留数在定积分计算中的应用一、形如的积分π20d)sin,(cosR二、形如的积分xxRd)(三、形如的积分)0(d)(axexRiax一、形如的积分π20d)sin,(cosR.sin,cos)sin,(cos的有理函数是其中R思想方法:封闭路线的积分（围道积分法）.把定积分化为一个复变函数沿某条两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化iez令ddiiez,ddizz)(21siniieei,212izz)(21cosiiee,212zz当历经]π2,0[时,1z绕行一周.z沿正向单位圆周02011ii从而积分化为沿正向单位圆周的积分：d)sin,(cosπ20RizzizzzzRzd21,21122zzfzd)(1z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点..),(Resπ21nkkzzfi例1.)10(dcos21cos22π02的值计算pppI解,10p由于)cos1(2)1(cos2122pppp内不为零，在π20故积分有意义.)(212cos22iiee由于),(2122zzizzpzzpzzIzd2211221122izzpzzpzzIzd2211221122zpzpzizzzd))(1(21124,1,,0ppz被积函数的三个极点内，在圆周1,,0zpz为一级极点，为二级极点，且pzz0.d)(1zzfz上被积函数无奇点，所以在圆周1z))(1(21ddlim]0),([Res2420pzpzizzzzzfz222243220)(2)21)(1(4)(limzpppzzippzzzzpppzzz,2122ipp,)1(21224pipp))(1(21)(lim]),([Res24pzpzizzpzpzfpz)1(2121π222222pippippiI.1π222pp因此例2计算.sin1dπ02xx解π0π0222cos11dsin1dxxxxπ02cos12d2xx,2tx令π20cos3dttizzzzzd2)1(3112.16d212zzzzi2231z极点为:π02sin1dxx所以.2π(在单位圆内)2232z(在单位圆外))]223(),(Res[22zfii二、形如的积分xxRd)(若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设2,)()()(1111nmbzbzazazzRzPzRmmmnnn分析可先讨论,d)(RRxxR最后令R即可.2.积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))RRxxRd)(Czzfd)(可取f(z)=R(z).O这里可补线RC(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)RC与RR,一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点kz都包在这积分路线内.根据留数定理得:RCkRRzzRizzRxxR],),(Res[π2d)(d)(z1z2z3RRxznyCR，则上，令在iReRzCRRCCzzQzPzzRd)()(d)(;)()(0deRQeiReRPiii则的次数至少高两次的次数比分子由于分母,)()(zPzQ.,0)()(时当zzQzzP.,0)()(时当RzeRQeReRPiii即.]),(Res[π2d)(kzzRixxR所以;0d)(:RCzzRR,d)(zzRRRzzRd)(从而.kz其中为R(z)在上半复平面所有有限远处的孤立奇点.例3计算积分),0,0()()(d022222bababxaxx)()(1)(22222bzazzR解在上半平面有二级极点,aiz.biz一级极点.]),(Res[π2d)(kzzRixxR.]),(Res[πd)(21d)(0kzzRixxRxxR)(为偶函数，则特别地，若xRbizbizaz)()(1222,)(43222322abiaab]}),([Res]),([Res{πaizRbizRi.)(4π)2(23bababa222222322)(21)(43abbiabiaabi]),(Res[bizR022222)()(dbxaxx所以aizbzaiz)()(1222,)(21222babi]),(Res[aizR)()(d2122222bxaxx例4计算积分dxxxxx91022429102)(242zzzzzR解在上半平面有两个单极点：.3,ii)9)()((2)(lim]),(Res[22zizizzzizizRiz.161i)3)(3)(1(2)3(lim]3),(Res[223izizzzzizizRiz.4873idxxxxx9102242]}3),([Res]),([Res{π2izRizRi.1252222(1)(9)zzzz三、形如的积分)0(d)(axexRiax积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(x)在实轴上无孤立奇点.z1z2z3znRROxyCR同前一类型:补线RC与RR,曲线C,使R(z)所有的在上半kz都包在这积分路线内.一起构成封闭RC平面内的极点zezRxexRiazCRRiaxRd)(d)(],)(Res[π2kiazzezRi由留数定理::R令],)(Res[π2)(limd)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR.d)(xexRiax，故只要求出RCiazRdzezR)(lim就可以求出积分充分大）ReRzi,0(:)(RCzg沿半圆周设函数.0)(limzgCRR上有上连续，且在则.)0(0)(limRCiazRadzezg约当引理：证得：由0)(limzgR时，有使当00,,0RRR.,)(RCzzgRCiazzezgd)(及由,)(RieReRgiiideReeRgiiaReiθi)(0sincossinaRiaRaRiaReeeeθi得deRzezgaRCiazR0sind)(deRaR20sin2由约当不等式（如右图）oyπ2ysiny2)20(sin2deRdeRzezgaRaRCiazR20220sin22d)()1(aRea.a从而.)0(0)(limRCiazRadzezg],)(Res[π2)(limd)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR根据约当引理及以上的讨论得：],)(Res[π2d)(kiaziaxzezRixexRaxiaxeiaxsincosxaxxRixaxxRdsin)(dcos)(.],)(Res[π2kiazzezRi],)(Res[π2d)(kiaziaxzezRixexR将实虚部分开，可得积分.dsin)(dcos)(xaxxRxaxxR及.kz其中为R(z)在上半复平面所有有限远处的孤立奇点.例5计算积分.0,0,d)(sin0222amxaxmxx解xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin2220222xeaxximxd)(Im21222在上半平面只有二级极点222(),()imzzfzeza,aiz又xeaxximxd)(222则aizimzeaizzzaizf2)(dd)),((Res,4maeam)),((Res2Im21aizfi.4maeamaieazziimz,)(Res2222xaxmxxd)(sin0222所以注意以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴上无孤立奇点..dIm21dsin21dsin0xxexxxxxxix例6计算积分.dsin0xxx解所以是偶函数,sinxx因函数zeiz在实轴上有一级极点,0z若被积函数中的R(z)在实轴上有孤立奇点，则]}),([es21]),([e{π2d)(kkxzRRzzRsRixxR.是实轴上的奇点是上半平面的奇点，其中kkxz]}0,[Re210{2dzesixxeizix所以.lim0izeziizz.2dIm21dsin0xxexxxix小结与思考本课应用“围道积分法”计算了三类实积分,熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点.思考题).0(cosd2π022aa计算积分2π2π22cosd21aI)2(2cos21d212π2π2ta令ππ2cos21d21tatπ202cos21d21tat.122aa思考题答案作业：P935.9（1）、（4）、（6）