积分变换第7讲

1积分变换第7讲2拉氏逆变换3前面主要讨论了由已知函数f(t)求它的象函数F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数F(s)求它的象原函数f(t).本节就来解决这个问题.由拉氏变换的概念可知,函数f(t)的拉氏变换,实际上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏变换.4因此,按傅氏积分公式,在f(t)的连续点就有jjj(j)0j()()e1()()eeded21ed()ed21(j)ed,02ttttftutfufFtbbbb--------(j)1()(j)ed,02tftFtbb-等式两边同乘以ebt,则5右端的积分称为拉氏反演积分,它的积分路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷.而积分路线中的实部b则有一些随意,但必须满足的条件就是e-btf(t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛.计算复变函数的积分通常比较困难,但是可以用留数方法计算.(j)jj1()(j)ed,02j,1()()ed,0(2.16)2jstftFtsftFsstbbbbb--令有6定理若s1,s2,...,sn是函数F(s)的所有奇点(适当选取b使这些奇点全在Re(s)b的范围内),且当s时,F(s)0,则有jj111()edRes()e2j()Res()e,0(2.17)nststsskknstsskkFssFsftFstbb-即7什么叫一个复变函数f(s)的奇点?那就是此函数没有定义的点,或者说是取值无穷大的点.例如函数)3)(2(e)(-ssssfst在0,2,-3处有三个奇点,可记为s1=0,s2=2,s3-38假设s0是f(s)的一个奇点,则f(s)总可以在s0处展开为罗朗级数,形式为:0()()nnnfscss--其中-1次方项(s-s0)-1的系数c-1就称为f(s)在s0点处的留数,记作Res[f(s),s0]=c-1或01Res()ssfsc-9围绕着f(s)的奇点s0的附近绕一圈环的积分就等于00001()d()d()d()d2j2jRes()nnCCnnnnnCCnnssfsscssscssscssscfs-------其中C是只围绕s0转一圈的任意闭合曲线.10如果函数f(s)有s1,s2,...,sn共n个奇点,闭合曲线C包围了这n个奇点,则1()d2jRes()knCsskfssfs实轴虚轴s1s2s311定理的证明作下图,闭曲线C=L+CR,CR在Re(s)b的区域内是半径为R的圆弧,当R充分大后,可以使F(s)est的所有奇点包含在闭曲线C围成的区域内.O实轴虚轴LCRb+jRb-jR为奇点b12根据留数定理可得1jj1()ed2jRes()e1()ed()ed2jRes()eRnststCkRststRCnstkFssFsFssFssFsbb-即13jj1lim()ed01()Res(),02jRkstCRnststsskFssFsedsFsetbb-从而在上式左方取R的极限,并根据Jordan引理,当t0时,有14最常见的情况,是函数F(s)是有理函数,即11101110111012()()()()()()mmmmnnnnmmmmnnasasasaFsbsbsbsbasasasabssssssAsBs---------其中A(s)和B(s)是不可约的多项式,B(s)的次数是n,A(s)的次数小于B(s)的次数,这时F(s)满足定理所要求的条件.15如果一元n次方程B(s)=0只有单根,这些单根称作B(s)的一阶零点,也就是21012()e,,()()e()()()()stkkstkkkAssBssAsBscccsscssss----的一阶极点假设是其中的一阶极点则可在处展开为罗朗级数为162101221011()e()()()()()()()e()()(),()()Reselim()e()()kkstkkkkstkkkkststkssssAsBscccsscssssssAsssccsscssBsssAsAscssBsBs-----------等式两边乘得再令两边取的极限得17121()()lim()elime()()()()e(),(),,()()e()kkkkststksssskkstkknnstkkkAsAsssBsBsBsssAsBsBsnsssAsftBs---而极限从而有当只有个单零点时182222jjjj()(),()(j)(j)jj()2(j)(j)()ee(j)(j)eesin,02j2jktktktktkFsskAskBsskskskkkBssAkAkftBkBkkkkttkk-------则两个一阶零点是和例19如方程B(s)=0有一个二重根s1,称s1为B(s)的二阶零点,也是F(s)est的二阶极点,这时F(s)est在s=s1处可展开为罗朗级数,其形式为:210112112121211230111()e()()()()()()e()()()()ststAsccccssBsssssssAsssccssBscsscss------------等式两边同乘得201121211230111211011211()()e()()()()d()()e2()d()()d()Reselim()e()d()ststststssssAsssccssBscsscsssAsssccsssBsssAsAscssBssBs-----------两边对求一次导数得两边取的极限得2122210211().(1)()(1),0,1,1d1()elime(1)d11limee1(ee)1e(1,02)ststssstststttFsssBsssssftssstssttt------求的逆变换为单零点为二阶零例点22还可以用部分分式和查表的办法来求解拉氏反变换.根据拉氏变换的性质以及11111!1[],!1e()!mmmmmatmmttssmtsam---LLL232222221().(1)1(1)(1)1(1)111,(1)01(1),1(1)(1),10,13FsssABCsssssssCssAsBssssBB--求的逆变换则必有式两边乘后再令得式两边乘后再令得再将式右边通分合并后两边分子应相等比较两边项系数应相等即例24最后得22121111()(1)11()1e(0)(1)tFssssssftttss----所以L25卷积261.卷积的概念在第一章讨论过傅氏变换的卷积的性质.两个函数的卷积是指1212()()()()dftftfft--如果f1(t)与f2(t)都满足条件:当t0时,f1(t)=f2(t)=0,则上式可以写成0121212120120()()()()d()()d()()d()()d(2.20)tttftftfftfftfftfft-----27今后如不特别声明,都假定这些函数在t0时恒等于零,它们的卷积都按(2.20)式计算Of1()f2()Of1()f2(t-)t28按(2.20)计算的卷积亦有|f1(t)*f2(t)||f1(t)|*|f2(t)|,它也满足交换律:f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)同样,它还满足结合律与对加法的交换律,即f1(t)*[f2(t)*f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]*f3(t)f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)29()0000002:*eedeed1eedeeede1eee1e(e1)1(e1)ttatatataattttataaaattataatatatattaataataataa-----------------例30例1求t*sint2jjjjjj22jj21*e(e1)ee1sin(ee)2j2j111(e1)(e1)2jjjj(j)12eesin2jjjatatttttttttttaatttttttttt-----------------由31卷积定理假定f1(t),f2(t)满足拉氏变换存在定理中的条件,且L[f1(t)]=F1(s),L[f2(t)]=F2(s),则f1(t)*f2(t)的拉氏变换一定存在,且121211212[()()]()()(2.21)[()()]()()ftftFsFsFsFsftft-或LL32121201200[()()][()()]ed()()dedsttstftftftfttfftt---证LttO33由于二重积分绝对可积,可以交换积分次序()22021212021120()ed()ede()[()()]()e()d()()ed()()stsusssfttfuuFsftftfFsFsfFsFs------所以L令t-=u,则12120[()()]()()eddstftftfftt--L34不难推证,若fk(t)(k=1,2,...,n)满足拉氏变换存在定理中的条件,且L[fk(t)]=Fk(s)(k=1,2,...,n)则有L[f1(t)*f2(t)*...*fn(t)]=F1(s)F2(s)...Fn(s)35222222122212121(),()(1)111()(1)111(),()1(),()sin1,()()()sin2sinFsftssFsssssFsFsssfttfttftftfttttt-若求因为取于是根据卷积定理和例例得36()()00()0eeeedeed,eeee1,eeee11eeeeeeettatbtabtbtabatbtbtattatbtbtabatbtatatbtatbtabttabababbatababab--------当时当时综上所述37jjjjjjjjjjjjjjjjeeeee1coscos(ee)(ee)41(eeeeeeee)41eee2e42j1(cossin)2atatbtatbttttttttttttttttttabababttttttt-----------由3822222222122(),()(1)()(1)11()11coscos1(cossin)32sFsftssssFssssssftssttttt--若求因为例L392222222221222221[()],().(413)1[()][(2)3]1339(2)3(2)33esin3(2)31()(esin3)(es)4in39tttftftssftssst