第十三章 积分变换法求解定解问题

1第十三章积分变换法在复变函数理论中，我们曾用拉普拉斯变换法求解常微分方程．经过变换，常微分方程变成了代数方程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程的解．积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法．2对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解．积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途．尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解．利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的．3特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解）用积分变换求解定解问题的步骤为：第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换；对于自变量在内变化的定解问题（如无界域的坐标变量）常采用傅氏变换，4第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程；第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解．自变量在内变化的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换．513.1傅里叶变换法解数学物理定解问题用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法．6下面的讨论我们假设待求解的函数u及其一阶导数是有限的.13.1.1弦振动问题例13.1.1求解无限长弦的自由振动定解问题（假定：函数u及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．这一定解问题在行波法中已经介绍.7【解】应用傅里叶变换，即用遍乘定解问题中的各式，并对空间变量x积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对：简化表示为8对其它函数也作傅氏变换，即为于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题上述常微分方程的通解为9代入初始条件可以定出这样10最后，上式乘以并作逆傅氏变换．应用延迟定理和积分定理得到这正是前面学过的的达朗贝尔公式.11为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便，我们特举一强迫弦振动问题：求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题【解】根据与例13.1.1相同的方法，作傅氏变换例13.1.212我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题13上述问题的解为利用傅氏变换的性质有故得到14代入得到即得1513.1.2热传导问题例13.1.3求解无限长细杆的热传导（无热源）问题【解】作傅氏变换，定解问题变换为16常微分方程的初值问题的解是再进行逆傅里叶变换，交换积分次序17引用积分公式且令以便利用积分公式，即得到18例13.1.4求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题【解】利用对定解问题作傅氏变换，得到常微分方程的定解问题19上述问题的解为为了求出上式的逆变换，利用下面傅氏变换的卷积公式，即若则20而积分即为最后得到定解问题的解为2113.1.3稳定场问题我们先给出求半平面内拉普拉斯方程的第一边值问题的傅氏变换系统解法例13.1.5定解问题22【解】对于变量作傅氏变换，有定解问题变换为常微分方程23因为可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为因为，故得到常微分方程的解为设24根据傅氏变换定义，的傅氏逆变换为再利用卷积公式最后得到原定解问题的解为2513.2拉普拉斯变换解数学物理定解问题由于要作傅氏变换的函数必须定义在上，故当我们讨论半无界问题时，就不能对变量x作傅氏变换了．因此本节介绍另一种变换法：拉普拉斯变换法求解定解问题．2613.2.1无界区域的问题例15.2.1求解无限长细杆的热传导（无热源）问题(13.2.1)【解】先对时间t作拉氏变换27由此原定解问题中的泛定方程变为再实施傅氏逆变换来进行求解.利用傅氏逆变换公式以及卷积定理28得方程的解为再作拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表，得原定解问题的解为