用分离变量法解常微分方程

第1页共13页用分离变量法解常微分方程.１直接可分离变量的微分方程1.1形如dxdy=xfy(1.1)的方程，称为变量分离方程，这里xf，y分别是的连续函数.如果(y)≠0，我们可将（1.1）改写成)(ydy=xfxd,这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到通解：)(xdy=dxxf)(+c.(1.2)其中，c表示该常数，)(xdy，dxxf)(分别理解为)(1y，xf的原函数.常数c的取值必须保证（1.2）有意义.使0y的0yy是方程(1.1)的解.例1求解方程01122dxydyx的通解.解：(1)变形且分离变量：），，（111122yxxdxydy(2)两边积分：cxdxydy2211，得cxyarcsinarcsin.第2页共13页可以验证1y也是原方程的解，若视x和y是平等的，则1x也是原方程的解.我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.例2曲线L上的点),(yxP处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分.求曲线L的方程.分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ的方程，用大写的),(YX表示法线上的动点，用小写的表示曲线L上的点，法为过点),(yxP的法线的斜率.解：由题意得y1法.从而法线PQ的方程为)(1xXyyY.又PQ被y轴平分，PQ与y轴交点M的坐标为2,0y，代入上式，得)0(12xyyy.整理后，得xyy2，分离变量，解得cyx222，其中c为任意正数，如图1.２变量可替换的微分方程),(yxpyyMLxQ2yx图1第3页共13页通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型:2.1齐次方程形如xydxdy(1.3)的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u是u的连续函数.对方程(1.3)做变量变换xyu，(1.4)即uxy，于是udxduxdxdy.(1.5)将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为)(uudxdux，整理后，得到xuudxdu)(.(1.6)方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（1.3）的解.例3求微分方程dxdyxydxdyxy22的通解.解：原方程化为22ydxdyxxyxy，即1xyxydxdy，第4页共13页于是，令xyu，即xuy，将dxduudxdy代入该方程，得12uudxduxu，整理，即有112uuuuudxdux，分离变量，得xdxduuu10u，两边积分，得1lnlnlncxuu，将xyu代回来，得yccxxyxy11lnln，xyeyc1，即xycey，其中c为任意常数.另,0u即0y也是原方程的解，但此解课包含于通解0c之中.故,方程的通解为xycey.2.2形如222111cybxacybxadxdy(1.7)的方程，这里212121,,,,,ccbbaa均为常数.此方程经变量变换可化为变量分离方程.我们分三种情形来讨论：第5页共13页2.2.1常数kccbbba212111的情形.这时方程化为kdxdy有通解ckxy，其中为任意的常数c.2.2.2212111cckbbaa的情形.令ybxau22，这时有212222cuckubadxdybadxdu是变量分离方程.2.2.32111bbba的情形.如果方程1.2中21,cc不全为零，方程右端分子、分母都是yx,的一次多项式，因此0121cybxa，0222cybxa.（1.8）代表Oxy平面上两条相交直线，设交点,.若令xX，yY.则（2.2）化为011YbXa，022YbXa.第6页共13页从而（2.1）变为XYYbXaYbXadXdY2211.(1.9)因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.1）的解.如果方程（2.1）中021cc可不必求解（2.2），直接取变换xyu即可.上述解题的方法也适用于比方程（2.1）更一般的方程类型222111cybxacybxafdxdy.例4求解方程766322yxyxdxdy（2.0）解：解方程组0322yx,0766yx,得34,61yx.于是，令61Xx,34Yy,代入方程（2.4），则有YXYXdxdy6622.1.2再令XYu,即uXY，则5.2化为duuuuXdX2211，两边积分，得cuuX~12lnln22，因此1~2212ceuuXc，第7页共13页代回原变量，得1222cXXYY，即122613461234cxyxy.因此，方程（2.3）的通解为cxyxyxy184737222，其中，c为任意常数.通过上述的求解，我们发现以上的方法是非常的准确的，但是对于像例5这种形式的的方程，我们发现还可以用另一种方法——凑微分进行求解.凑微分当方程222111cybxacybxadxdy满足：21ba（2.2）时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）.即：将12ba代入方程222111cybxacybxadxdy中，有222121cybxacyaxadxdy即dxcybxa)(111dycybxa)(222展开，得dxcydxbxdxa111dycydybxdya222（2.3）第8页共13页有条件（2.6）可知，dxbxdyaydxaxdyaxyda12222)(（2.4）将（2.8）代入（2.7）中，得0)222(1212222xcxaycybxyad.很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为Cxcxaycybxya1212222222，其中C为任意常数.例5求解方程85yxyxdxdy.解法一：该方程属于（2.2.2）的情形.于是，令yxu.则dydxdu所以，原方程可化为83udxdu.这是一个分离变量方程.整理可得xuu6162.将yxu代入，可得xyxyx6)(16)(2即，通解为cyxxyyx1610222.其中c为任意常数.观察例6可以发现，方程也满足条件(2.6)，于是用凑微分的方法同样可以求解.解法二：原方程变形为dxyxdyyx)5()8(.整理得058)(dxxdxdyydyydyxdy.所以第9页共13页0)521821(22xxyyxyd.两边积分，得原方程的通解为xxyyxy52182122=C，其中C为任意常数.以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介绍几种比较常见的课分离变量的方程.2.3形如cbyaxfyxdxdy11的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里的cba,,均为常数.做变量变换cbyaxu，这时有ufxbxadxdyybxadxdu1111，即dxxufbadu1.是变量分离方程.而当1时，cbyaxfdxdy为其特殊形式.例7求解方程yxxyyxdx3dy.解：因为yxxyyxdx3dy，(2.5)可以化为1dy22yxyxdx.于是，令122yxu.(2.6)则第10页共13页xuxdxdyyxdxdu2222,(2.7)将(2.9)代入(2.11)可以知道，这是一个分离变量方程.即xdxduu221.两边同时积分，得121lncxu.(2.8)再将(2.10)代入(2.12)，得12222lncxyx.所以12222cxeyx整理得，2222xCeyx，其中C为任意常数.2.4其他几种变量能分离的方程类型2.4.1形如0dyxyxgdxxyyf,(2.9)的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.将(2.13)变形为xyyfxyxgdxdy(3.0)做变量替换xyu.这时有2xudxxdudy，(3.1)将(2.15)代入(2.14)中，得第11页共13页dxxduuufuugug1.是变量分离方程.2.4.2形如xyfdxdyx2，(3.2)的方程是变量分离方程.做变量替换xyu，则2xudxxdudxdy，(3.3)代入原方程，得dxxduufu11.是变量分离方程.2.4.3形如2xyxfdxdy，(3.4)的方程是变量分离方程.做变量替换2xyu，则，有xudxduxdy22，(3.5)将(2.19)代入(2.18)中，得第12页共13页dxxduuuf121，所以，原方程同样是变量可替换方程.2.4.4形如byaxdxdy(3.6)（其中、满足）的方程.可令1zy，方程(2.20)化为齐次方程bxzdxdz11，事实上，dxdzzdxdy1，由于bzxbzxbyxdxdz，所以bzaxdxdzz1，即bxzdxdz11，再，设xzu，可化为变量分离变量.除此之外，还有一些一般形式，如xyfxxydxdy可以通过变量替换xyu化为变量分离方程求解；形如ydxxdyyxNydyxdxyxM,,（其中M、N为yx,齐次函数，次数可以不相同）也可通过变量替换sin,cosyx化为变量分离方程求解.变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法，在一阶第13页共13页微分方程的初等解法中具有重要的作用.