多元函数微分学的几何应用

目录上页下页返回结束二、空间曲线的切线与法平面第六节一、一元向量值函数及其导数三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第八章目录上页下页返回结束一、一元向量值函数及其导数引例:已知空间曲线的参数方程:],[)()()(ttztytx))(),(),(()(),,,(ttttfzyxr记的向量方程],[),(ttfrMrxzyO对上的动点M,即是此方程确定映射3R],[:f,称此映射为一元向量，显然OMrr的终点M的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线.值函数.要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.目录上页下页返回结束定义:给定数集DR,称映射nDfR:为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为Dttfr),(定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.则设,)),(),(),(()(312Dttftftftf极限：连续：导数：))(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt)()(lim00tftftt))(),(),(()(321tftftftfttfttftfttΔ)()(lim)(0000因此下面仅以n=3的情形为代表目录上页下页返回结束向量值函数导数的几何意义:在R3中,设Dttfr),(的终端曲线为,切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停MxzyOrΔ)(0tftrΔΔ)Δ(),(00ttfONtfOMN)()Δ(Δ00tfttfr)(ΔΔlim00tftrtt表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t的增长方向一致.)(0tf,则0)(0tf设r目录上页下页返回结束向量值函数导数的物理意义:设)(tfr表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有)()(tftv)(tva)(tf速度向量：加速度向量：目录上页下页返回结束例2.设空间曲线的向量方程为求曲线上对应于解:)62,34,1()(22tttttfr的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与t的增长方向一致另一与t的增长方向相反的单位切向量为)31,32,32(=6目录上页下页返回结束二、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.TM置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位))(),(),(()(ttttf：给定光滑曲线在))(),(),(()(ttttf点法式可建立曲线的法平面方程利用时，不同时为，，则当0点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程目录上页下页返回结束1.曲线方程为参数方程的情况因此曲线在点M处的000zzyyxx)(0t)(0t)(0t,),,(0000ttzyxM对应上的点设则在点M的切向量为))((00xxt)()(00yyt0))((00zzt法平面方程))(),(),(()(0000ttttfM)(0tf不全)(),(),(000ttt给定光滑曲线为0,切线方程目录上页下页返回结束例3.求曲线32,,tztytx在点M(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.,3,2,12tztyx解：点(1,1,1)对应于故点M处的切向量为)3,2,1(T因此所求切线方程为111zyx123法平面方程为)1(x)1(2y0)1(3z即632zyx目录上页下页返回结束)()(:xzxy(2)光滑曲线的方程为),,1(T)()(:xzxyxx切向量看成参数，得到将x)(0xx)()(00yyx0))((00zzx法平面方程切线方程000zzyyxx1)(0x)(0x目录上页下页返回结束平行的上与平面例：求曲线42,32zyxxzxy切线方程。解：),,1(xxzyT切线的方向向量)3,2,1(2xx且平面的法向量因为切线与平面平行，)1,2,1(n0nT所以，01322112xx即01432xx即1,3121xx解得，)271,91,31(311时，切点为当x3127219113zyx切线方程为)1,1,1(11时，切点为当x312111zyx切线方程为目录上页下页返回结束时，当0),(),(zyGFJ2.曲线为一般式的情况光滑曲线0),,(0),,(:zyxGzyxF曲线上一点),,(000zyxM可表示为处的切向量为)(,)(,100xxT)(0xx)()(00yyx0))((00zzx法平面方程切线方程000zzyyxx1)(0x)(0x目录上页下页返回结束例5.求曲线0,6222zyxzyx在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.06222zyxzyx解法2方程组两边对x求导,得1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,1目录上页下页返回结束切线方程即法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即0zx点M(1,–2,1)处的切向量)1,0,1(T目录上页下页返回结束三、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点0tt设对应点M,切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.))(,)(,)((000tttTMT目录上页下页返回结束MT证:在上,0))(,)(,)((tttF,0处求导两边在tt,0Mtt对应点注意)(0t0),,(000zyxFx),,(000zyxFy),,(000zyxFz)(0t)(0t得))(,)(,)((000tttT)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT切向量由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.目录上页下页返回结束)(),,(0000xxzyxFx曲面在点M的法向量:法线方程000zzyyxx)(),,(0000yyzyxFy0))(,,(0000zzzyxFz切平面方程),,(000zyxFx),,(000zyxFy),,(000zyxFz)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx过M点且垂直于切平面的直线称为曲面在点M的法线.MT目录上页下页返回结束))(,(000xxyxfx曲面时,zyxfzyxF),(),,(则在点),,,(zyx故当函数),(00yx法线方程令有在点),,(000zyxΣ特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,)(),(000yyyxfy0zz切平面方程法向量)1),,(),,((0000yxfyxfnyx目录上页下页返回结束法向量用将),(,),(0000yxfyxfyx,,yxff法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,)1,),(,),((0000yxfyxfnyx复习目录上页下页返回结束例6.求球面14222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:令所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程)1(2x即法线方程321zyx)2(4y0)3(6z123法向量)2,2,2(zyxn)6,4,2()3,2,1(n即321zyx(可见法线经过原点，即球心)目录上页下页返回结束7例。）的切平面及法线方程，，在点（求曲面0123xyzez所以曲面在点(2,1,0)处有:切平面方程)2(1x即法线方程02112zyx)1(2y0)0(0z法向量)1,,(zexyn)0,2,1()0,1,2(n解:令目录上页下页返回结束例8.确定正数使曲面zyx在点),,(000zyxM解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故000000000zyxyzxxzy0x又点M在球面上,于是有000zyx相切.333a与球面),,(0002zyxn21//nn,因此有20y20z2目录上页下页返回结束1.空间曲线的切线与法平面切线方程000zzyyxx法平面方程))((00xxt1)参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结)(0t)(0t)(0t)()(00yyt0))((00zzt))(,)(,)((000tttT目录上页下页返回结束)()(:xzxy(2)光滑曲线的方程为),,1(T)()(:xzxyxx切向量看成参数，得到将x)(0xx)()(00yyx0))((00zzx法平面方程切线方程000zzyyxx1)(0x)(0x目录上页下页返回结束时，当0),(),(zyGFJ2.曲线为一般式的情况光滑曲线0),,(0),,(:zyxGzyxF曲线上一点),,(000zyxM可表示为处的切向量为)(,)(,100xxT)(0xx)()(00yyx0))((00zzx法平面方程切线方程000zzyyxx1)(0x)(0x目录上页下页返回结束空间光滑曲面曲面在点法线方程),,(0000zyxFxxx),,(0000zyxFyyy),,(0000zyxFzzz)(),,()(),,(00000000yyzyxFxxzyxFyx1)隐式情况.的法向量0))(,,(0000zzzyxFz切平面方程曲面的切平面与法线)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx目录上页下页返回结束空间光滑曲面)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2)显式情况.法线的方向余弦2211cosyxff法向量)1,,(yxffn目录上页下页返回结束思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则000226zyx32(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)目录上页下页返回结束证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此0zz)(0xxxzM)(0yyyzM2.设f(u)可微,第七节证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为