高数微积分方向导数梯度

1引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．第七节方向导数与梯度一、问题的提出2讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．),(yxfz二、方向导数的定义．引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数lPPUyxPyxfz)(),(),(00).P(),(,00UPlyyxxPlx上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设oyxlPxyp3||PP线段长,)()(22yx),,(),(00yxfyyxxfz函数增量当沿着趋于时，PPl),(),(lim000yxfyyxxf研究,称为平均变化率其比值z是否存在？oyxlPxyp4.),(),(lim00000Pyxfyyxxflf依定义，函数),(yxf在点P沿着x轴正向}0,1{1e、y轴正向}1,0{2e的方向导数分别为yxff,；沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是yxff,.的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点在，时，如果此比的极限存趋于沿着当之比值，两点间的距离与函数的增量定义：lPPlPyxPPyxfyyxxf220000)()(),(),(记为5定理如果函数),(yxfz在点),(yxP是可微分的，那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有cossincoscosffffflxyxy，其中取值在(0,2)，是x轴正向到方向l的转角。证明:由于函数可微，则增量可表示为)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf两边同除以,得到coscos是方向余弦6sincos故有方向导数),(),(lim0yxfyyxxfcoscos.ffxylf)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxfcoscos亦等于.sincosyfxf7xzy0lyxzzlflzPP0lim00PP0z=f(x,y)xy)()(limy,xfyy,xxfQ)()(lim00PfPfM是曲面在点P0处沿方向l的变化率，即半切线0PlzMN方向导数方向导数的几何意义的斜率.N（看成是割线，切线是割线的极限位置）QM8例1求函数yxez2在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(Q的方向的方向导数.解：;1)0,1(2)0,1(yexz,22)0,1(2)0,1(yxeyz)21(2210,1lz.22这里方向l即为)1,1(PQ,所求方向导数21cos,21cos9例2求函数22),(yxyxyxf在点（1，1）沿与x轴正向转角为的方向射线l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyxsincos),4sin(210),4sin(2故（1）当4时，方向导数达到最大值2;（2）当45时，方向导数达到最小值2;（3）当43和47时，方向导数等于0.11对于三元函数),,(zyxfu，它在空间一点),,(zyxP沿着方向l的方向导数，可定义为,),,(),,(lim0zyxfzzyyxxflf推广可得三元函数方向导数的定义（其中222)()()(zyx）12同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有.coscoscoszfyfxflf设方向l的方向角为,,,cosx,cosy,cosz13例3设n是曲面632222zyx在点)1,1,1(P处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1yxzu在此处沿方向n的方向导数.解令,632),,(222zyxzyxF,44PPxxF,66PPyyF,22PPzzF故),,(zyxFFFn)2,6,4(,142264222n方向余弦为14,142cos,143cos.141cosPPyxzxxu22866;146PPyxzyyu22868;148PPzyxzu22286.14PPzuyuxunu)coscoscos(.711故15定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量jyfixf，这向量称为函数),(yxfz在点),(yxP的梯度，记为),(yxgradfpyxffjyfixf),(.三、梯度的概念?:最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题P16coscosyfxflf)cos,(cos),(yfxfeyxgradf),(,cos|),(|eyxgradf其中)),((,eyxgradf所以当1)),,(cos(eyxgradf时，lf有最大值.设)cos,(cose是方向l上的单位向量，由方向导数公式知,cos|),(|yxgradf17结论：沿梯度方向的方向导数取得最大值，即函数沿梯度方向增长最快，这个最大值等于这点处梯度的模。22)()(|),(|yxffyxgradf18三元函数),,(zyxfu在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),,(，都可定义一个向量(梯度)).,,(),,(zfyfxfkzfjyfixfzyxgradf类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数19面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数f的等值线.,,不同时为零设yxff则L*上点P处的法向量为Pyxff),(Pfgradoyx1cf2cf3cf)(321ccc设P同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为.gradPf,),(yxfz对函数20函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等高线),指向函数增大的方向梯度的几何意义：梯度的方向与等值面（或者等高线）该点的法线的一个方向相同（从数值低的等高线指向数值高的）.看书p46图23例4求函数yxzyxu2332222在点)2,1,1(处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得),,(),,(zuyuxuzyxgradu)6,24,32(zyx故)12,2,5()2,1,1(gradu在)0,21,23(0P处梯度为0.24势与势场向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场),它是由数量场f(M)产生的.通常称函数f(M)为这个向量场的势,而这个向量场又称为势场.必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定是某个数量函数的梯度场.四.数量场与向量场如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场.如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的向量F(M),则称在这空间区域G内确定了一个向量场.25解32)(rmxxrrmrmx同理3)(rmyrmy3)(rmzrmz从而)(2kjirzryrxrmrmgrad记kjierzryrxr它是与OM同方向的单位向量则rrmrme2grad解32)(rmxxrrmrmx从而)(2kjirzryrxrmrmgrad记kjierzryrxr它是与OM同方向的单位向量则mr试求的梯度.222,rOMxyz例5设质量为m的质点位于原点,质量为1的质点位于(,,),Mxyz记26它表示两质点间的引力,方向朝着原点,大小与质量的乘积成正比,与两点间距离的平方成反比.mr这说明了引力场是数量场的梯度场,因此常称mr为引力势.271、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）小结.),(最快的方向在这点增长梯度的方向就是函数yxf28讨论函数22),(yxyxfz在)0,0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？思考题xfxfxzx)0,0()0,(lim0)0,0(.||lim0xxx同理：)0,0(yzyyy||lim0故两个偏导数均不存在.答29(,)lxy沿任意方向的方向)0,0()0,0(lim)0,0(fyxflz1)()()()(lim2222yxyx所以沿着任意方向的方向导数都存在且相等导数30思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.31曲线1.(1)在点)1,1,1(coscoscoszyxMffflf解答提示:函数沿l的方向导数lM(1,1,1)处切线的方向向量32)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad1306arccoslcosl332.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性)2,2,1(92)2,2,1(92(92考研)34指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A3.函数)ln(22zyxu提示:则}cos,cos,{cos)1ln(x)11ln(2y(96考研)212135课后思考题：1.研究多元函数连续，偏导数，全微分，方向导数，梯度的关系。2.研究多元函数偏导数，全微分，方向导数，梯度的几何意义。