微积分与数学建模知识总结

微积分与数学模型（上册）任课教师：陈骑兵小组成员张程1440610405王子尧1440610402李昊奇1440610403梅良玉1440610426方旭建1440610406李柏睿1440610428第1章函数，极限与连续1.1函数的基本概念准备知识（掌握集合与区间的相关知识）函数定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于任意xD，按照某一法则f，变量y都有确定的值和它对应，则称f为定义在D上的函数，数集D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。与x对应的y的值记做f(x)，称为函数f在x处的函数值。D上所有的数值对应的全体函数值的集合称为值域函数特性：1：函数的有界性设f(x)在集合X上有定义，若存在M=0,使得对任意x属于X都有f(x的绝对值=M,则称函数f(x在)X上有界；否则，称函数f(x)在X上无界。2：函数的单调性3：函数的奇偶性4：函数的周期性5：分段函数6：复合函数1.2初等函数常值函数如：y=C,C为常数；幂函数如：y=x,R为常数；指数函数如：y=ax,a0且a1；对数函数如：y=axlog,a0且a1；三角函数如：y=sinx,y=cosx,y=tanx；反三角函数如：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx；以及双曲函数1.3极限的概念（1).极限的直观定义：当x接近于某个常数x0但不等于x0时，若f(x)趋向于常数A，则称A为f(x)当x趋向于x0时的极限。(2).极限的精确定义：给定函数f(x)和常数A，若对于∀ε0（无论ε多么小），总彐δ0,使得当0|x-x0|ε,则称A为f(x)当x趋于x0时的极限，记做lim0xxf(x)=A.(3)单侧极限和极限的关系：（定理）lim0xxf(x)=A.成立的充要条件是左极限lim0xxf(x)和右极限lim0xxf(x)均存在且都等于A(4)（定理）lim0xxf(x)=A的充要条件是lim0xxf(x)=lim0xxf(x)=A1.4极限的性质与运算性质：唯一性：若lim0xxf(x)存在，则必唯一（1）局部有界性：若lim0xxf(x)=A，则存在M0以及0，使得当0|x-x0|时，有|f(x)|M（2）局部保号性：若im0xxf(x)=A，且A0(或A0)，则存在0，使得当0|x-x0|时，有f(x)0(或f(x)0)运算若limf(x)=A,limg(x)=B,则①.lim[f(x)±g(x)]存在，且lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;②.limf(x)·g(x)存在，且limf(x)g(x)=limf(x)·limg(x)=AB;③.若B≠0，则lim[f(x)/g(x)]存在，且lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B夹逼准则：若函数f(x),g(x),h(x)满足:（1）当x∈U(x0,δ)时，有g(x)≤f(x)≤h(x)；（2)limx→x0g(x)=A,limx→x0h(x)=A,则极限limx→x0f(x)存在,且等于A。两个重要极限：Ilim0xxxsin=1通用形式：lim0)(x)()(sinxx=1IIlimx(1+x1)x=e通用形式：limx(1+)(1x)=e1.5无穷小量无穷小量的定义：若对于∀ε0，彐δ0，使得当0|x-x0|δ时，有|f(x)|ε,则称f(x)为x→x0时的无穷小量。注：（1）无穷小量是一个以零为极限的变量；（2）无穷小量不是一个数，不要将其与非常小的数混淆；（3）0是唯一可作为无穷小量的常数。无穷大量的定义：若对于∀M0，彐δ0，使得当0|x-x0|δ时，有|f(x)|M,则称f(x)为x→x0时的无穷大量定理：(1)若f(x)为无穷大量，则1/f(x)为无穷小量；(2)若f(x)为无穷小量，且f(x)≠0，则1/f(x)为无穷大量。无穷小量的运算性质：a两个无穷小量的和或差仍为无穷小量；b有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量；C常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量；d有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。无穷小量的比较：a若lim(β/α)=0,则称β是α的高阶无穷小，Fb若lim(β/α)=∞,则称β是α的低阶无穷小，c若lim(β/α)=C≠0,则称β是α的同阶无穷小，d若lim(β/α)=1,则称β与α是等阶无穷小，记做β~α。1.6函数的连续性连续函数的定义：i若函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,δ)内有定义，且limx→x0f(x)=f(x0)，则称f(x)在点x0连续ii若函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,δ)内有定义，且limΔx→0Δy=0,其中Δy表示对应于自)在包含x0的某个右(左)领域内有定义，且左右极限相等，则称f(x)在点x0右（左）连续。间断点及其分类满足条件：f(x)x=x0lim0xxf(x)存在lim0xxf(x)=f(x0)三者有一个不成立，则称f(x)在点x0间断,称x0为间断点第一类间断点：可去间断点跳跃间断点第二类间断点：跳跃间断点振荡型间断点连续函数的运算性质与初等函数的连续性连续函数的四则运算法则：若f(x),g(x)均在x0连续，则f(x)±g(x),f(x)·g(x)及f(x)/g(x)(g(x0)≠0)都在x0连续；反函数的连续性若y=f(x)在区间Ix上单值，单增(减)，且连续，则其反函数x=φ(y)也在对应的区间Ix={y|y=f(x),x∈Ix}上单值，单增(减),且连续；复合函数的连续性函数u=φ(x)在点x=x0连续，且φ(x0)=u0，函数y=f(u)在点u0连续，则复合函数y=f(φ(x))在点x0处连续。结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。1.7闭区间上连续函数的性质最值定理：i闭区间上的连续函数在该区间一定有界ii闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值介值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)，则对于f(a)f与f(b)之间的任意常数C，在(a,b)内至少存在一点x,使得f(x)=C(axb)推论：设f(x)在[a,b]上连续，则对于C（m,M)，必存在x(a,b)，使得f(x)=C零点存在定理：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0,则在开区间(a,b)内，至少存在一点，使得f()=0，即f(x)在（a,b)内至少有一个零点。重点：i理解并掌握初等函数的特性以及分段函数和复合函数。ii.理解并掌握极限的定义；性质和四则运算iii掌握夹逼准则的定理及应用iv掌握无穷小量的实质和性质v理解连续函数的定义难点：I掌握极限与连续函数间的内在联系II掌握两个重要极限的形式并且能熟练运用III能熟练运用等价无穷小之间的转换求极限IV能牢记并准确判断出函数间断点的类型V能运用数学建模解决实际问题第二章导数与微分2.1导数的定义设函数y=f(x)在0x点及其某领域内有定义，当自变量x在0x处取得增量yf(0x+x)f(0x)，如果0limxxy=oxlimxxfxxf)()(00存在，则称函数)(xfy在点0x处可导，并称此极限值为函数)(xfy在点0x处的导数，记为)(0xf。常见的导数表达式还有：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx和hxfhxfxfh)()(lim)(0000。2.1.3单侧倒数如果极限xxfxxfx)()(lim000存在，则称此极限值为函数)(xfy在0x的左导数，记做)(0_xf，如果极限xxfxxfx)()(lim000存在，则称此极限值为函数)(xfy的右导数，记做)(0xf。2.2函数的运算法则（1）)(；（2）（2）)(；（3）2)(；（4）基本初等函数的导数公式（1）0)(C；（2）1)(xxa；（3）ln)(axxaa；（4）xxee)(；（5）lnlog1)(axax；（6）xx1)(ln；（7）xxcos)(sin；(8)xsin)(cos；（9）xx2sec)(tan；（10）xx2csc)(cot；（11）xxxtansec)(sec；（12）xx2csc)(csc；（13）211)(arcsinxx；（14）211)(arccosxx；（15）211)(arctanxx；（16）211)cot(xxarc；2.3隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数若因变量y表示为自变量x的明确表达式)(xfy，则称)(xfy为显函数而有时变量x和y的关系不用显式给出，甚至某些情况下不能用显式给出，就产生了隐函数。一般地，称由方程F(x，y)0所确定的函数为隐函数。隐函数的求导发设由方程0),(yxF，确定了隐函数)(xyy，于是对方程两端关于x求导，遇到x直接求导，遇到y就将y看成x的函数，再乘以y对x的导数y，得到一个含有y的方程，然后从中解除y即可。2.4高阶导数一般地，函数)(xfy的导数)(xf任然是x的函数，它称为)(xf的一阶导数，如果)(xf的导数存在，就称其为函数)(xfy的二阶导数，记做y，)(xf或22dxyd，根据导数的定义，xxfxxfxfx)()(lim)(0，类似的，函数)(xfy的三阶导数，...，)1(n阶导数的导数就称为n阶导数，分别记做,y...，)(ny或)(xf，...，)()(xfn或33dxyd.2.5微分设函数)(xfy在点0x及其领域有定义，若)(xf在点0x处的增量)()(xfxxfy与自变量增量x满足如下关系)(xxAy，其中A是与x无关的常数，)(x是x→0时的高阶无穷小，则称函数)(xfy在点0x处可微，xA称为函数)(xfy在点0x处的微分，并记为dy丨xAxx0，)0(AxA称为y的线性主部。2.5.2微分的运算法则（1）0)(Cd（C为常数）；（2）dxxdx1；（3)dxadaaxxln；(4dxedexx(5))1,0(ln1)(logaadxaxdxa；(6)dxxxd1)(ln(7)xdxxdcos)(sin；(8)xdxxdsin)(cos；(9)xdxxd2sec)(tan；(10）xdxxd2csc)(cot；（11）xdxxxdtansec)(sec；（12）xdxxxdcotcsc)(csc；（13）dxxxd211)(arcsin；（14）dxxxd211)(arccos；（15）dxxxd211)(arctan；（16）dxxxarcd211)cot(；2.微分的四则运算法则由函数的和，差，积，商的求导法则，可得到微分的四则运算法则，设函数)(x，)(x在点x处可微，则有（1）ddd)(；（2）CdCd)(；（3）dvdd)(；（4）2)(ddd；第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理一、费马引理：设函数()fx在点0x的某邻域0()Ux内有定义，并且在0x处可导，如果对任意的0()xUx，有0()()fxfx（或0()()fxfx），那么0()0fx。证：不妨设0()xUx时，0()()fxfx，对于00()xxUx，有00()()fxxfx，故当0x时，00()()0fxxfxx；当0x时，00()()0fxxfxx，由保号性00000()()()()lim0xfxxfxfxfxx，00000()()()