二元函数微积分——偏导数和全微分

推广一元函数微分学二元函数微分学注意:善于类比,区别异同二元函数微积分一、区域二、二元函数的概念二元函数的基本概念区域平面上满足某个条件的一切点构成的集合。平面点集：平面区域：由平面上一条或几条曲线所围成的部分平面点集称为平面区域，通常记作D。0xy1·边界闭区域开区域0xy)(1xy)(2xyab0xycd)(1yx)(2yxX型区域Y型区域常见区域axbx)(1xy)(2xy由四条曲线围成cydy由四条曲线围成)(1yx)(2yx邻域:平面上以点),(000yxP为圆心，0为半径的圆内部构成的有界开区域0,)()(),(2020yyxxyxD称为点),(000yxP的邻域。0xy1·),(000yxP定义：设有三个变量yx,和z，如果当变量yx,在某平面区域D内任取一组值时，变量z按照一定的规律f，总有唯一确定的数值与之对应，则称z为yx,的二元函数，记作),(yxfz，其中yx,称为自变量，函数z也称为因变量，yx,的变化范围D称为函数的定义域。类似的，可以定义三元函数),,(zyxfu及三元以上的函数。二元函数的概念一元函数二元函数定义域自变量个数一个：x两个：yx,在数轴上讨论（区间）在平面上讨论（区域）一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数定义：),(yxfz在点存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00x则称此极限为函数极限设函数x;),(00yxxzxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx注意:同样可定义对y的偏导数lim0y),(00yxfy若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,),(,),(2yxfyxfy),(0xf),(0xfy记为yy00y或y偏导数存在,,,,yzyfyz例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.xxx?),,(zyxfy?),,(zyxfzx偏导数定义为(请自己写出)例1.求223yyxxz解：xz)2,1(xz在点(1,2)处的偏导数.,32yxyzyx23)2,1(yz由偏导数的定义可以看出，要求二元函数对某个自变量的偏导数，只需将另一个自变量看做常量，然后利用一元函数求导公式和求导法则即可。例2.设，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1证:yzxxzyxln1例3.求的偏导数.解:xr求证z22222zyxx2rxrzzr偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVp证:,VTRp,pTRVpTTVVp说明:(R为常数),Vp2VTRTVpRVpTR1不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,1、求二元函数xyez的一阶偏导数。4、求二元函数)ln(22yxyz的一阶偏导数。5、已知二元函数)ln(yxz，证明：关系式21yzyxzx2、求二元函数xyzarctan的一阶偏导数。3、求二元函数yezxcossin的一阶偏导数。练习二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶)(yyxznn1偏导数为例5．求二元函数yxez的二阶偏导数。解：yxxyxeyxexz)(yxyyxeyxeyz)()(22xzxxz)(2xzyyxz)(2yzxxyz)(22yzyyzyxxyxeyxe)(yxyyxeyxe)(yxxyxeyxe)(yxyyxeyxe)(例6.证明函数满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：22xu利用对称性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程31rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0内容小结1.偏导数的概念及有关结论•定义;记号2.偏导数的计算方法•求一点处偏导数的方法先求后代（把其他变量视为常数）利用定义•求高阶偏导数的方法逐次求导法1、求二元函数yyexz2的各二阶偏导数。2、求二元函数2333xyyxz的各二阶偏导数。3、求二元函数yxz的各二阶偏导数。4、求二元函数)ln(yxxz的各二阶偏导数。练习