反常积分习题课

[e-mail]深圳大学数学与计算科学学院[e-mail]反常积分习题课第十一章MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析基本问题：反常积分的敛散性判别及其计算无穷积分与暇积分的概念及其敛散性，绝对收敛性敛散性判别：Cauchy准则，比较判据（Cauchy），Dirichlet判据，Able判据无穷积分与暇积分的计算（极限）MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析统一思想：转化思想，极端原理由熟悉（有界闭区间有界函数的性质）认识（极限性质）陌生；极端原理（抓主要矛盾、控制思想）。同号函数，越小越好。变号函数，分解为二，一单调，二震荡，二者相辅相成。MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析基本要求：理解思想，牢记法则理解Cauchy收敛准则的科学依据；理解比较判别法、Dirichlet及Able判别法的科学依据；牢记两个特殊函数类的积分敛散性；牢记三种判别法：比较判别法、Dirichlet及Able判别法。[e-mail]数学分析MathematicalAnalysis数学分析一、反常积分及其敛散性概念MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析无穷积分=无界区间上（有界函数）的积分三种情况：[a,)；(,b]；(,)暇积分=（有界区间上）无界函数的积分三种情况：(a,b];[a,b);[a,c)(c,b]MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析在任何有限区间[a,u]上可积，且存在极限1.无穷积分的收敛性lim()duaufxx归结为变上限积分函数的极限问题计算无穷积分的依据MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析在任何内闭区间[u,b](a,b]上可积且存在极限2.暇积分的收敛性lim()d,buuafxxJ归结为变下限积分函数的极限问题计算暇积分的依据MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析3.两类重要的反常积分1dpxx10d(0)qxqx当且仅当p1时收敛。当且仅当q1时收敛。d(0)bqaxqxa1qx1qxa典型的控制函数MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析二、无穷积分的性质与收敛判别MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析任给0,存在Ga,只要u1,u2G,便有1.Cauchy收敛准则无穷远片段无限小2121()d()d()d.uuuaaufxxfxxfxxlim()d0uufxxMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析起点无关性2.基本性质区间可加性()d()d()d.baabfxxfxxfxx线性可加性11221122()()d()d()d.aaakfxkfxxkfxxkfxx()dafxx()dbfxx与同敛散.MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析绝对收敛性若f在任何有限区间[a,u]上可积,且有绝对收敛者一定收敛，反之未必.收敛而不绝对收敛者称为条件收敛.()d|()|d.aafxxfxxMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析3.非负函数比较法则设定义在[a,)上的两个函数，f和g都在任何有限区间[a,u]上可积,且存在Ma使得非负函数大的收敛小的收敛小的发散大的发散0()(),fxgxxMMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析比较判别法的极限形式若f和g都在[a,u]上可积,g(x)0,且则有:也发散.()lim,()xfxcgxMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析Cauchy判别法设f定义于[a,)(a0),且在任何有限区间[a,u]上可积,则(i)当(ii)当其中M是某正实数。(),pMfxx(),pMfxxMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析Cauchy判别法极限形式设f定义于[a,),在任何有限区间[a,u]上可积,且则有lim(),pxxfx()()1ppfxxfxx1()pfxxMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析Dirichlet判别法若原理：Cauchy判别准则，积分第二中值定理。(2)g(x)在[a,)当x时单调趋于0.上有界,(1)3.非负函数比较法则f(x)的原函数是有界函数MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析Abel判别法若原理：Cauchy判别准则，积分第二中值定理。(1)(2)g(x)在[a,)上单调有界.()afxdx收敛,MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析重要例子与在p0时收敛.1sindpxxx1cosdpxxx21sind,xx21cosd,xx41sind,xxx收敛(绝对收敛)的无穷积分的被积函数(即使连续)未必趋于0，甚至可能是无界的。若无穷积分收敛且被积函数f(x)收敛或一致连续或单调，则被积函数f(x)趋于0。MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析三、瑕积分的性质与收敛判别MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析1.Cauchy收敛准则任给0,存在0,只要u1,u2(a,a),总有2121()d()d()d.bbuuuufxxfxxfxx瑕积分(瑕点为a)收敛的充要条件是:()bafxdxMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析线性可加性2.基本性质11221122()()d()d()d.bbbaaakfxkfxxkfxxkfxx区间可加性()d()d()d,bcbaacfxxfxxfxx终点无关性(a为瑕点)()dcafxx()dbafxx与同敛散.MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析绝对收敛性设f的瑕点为a,f在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可()d|()|d.bbaafxxfxx积.则当收敛时,也必收敛,并有|()|d.bafxx()dbafxx绝对收敛者一定收敛，反之未必.当收敛时,称绝对收敛；收敛而非绝对收敛者称条件收敛|()|d.bafxx()dbafxxMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析比较法则设定义在(a,b]上的两个函数f和g,瑕点同为xa,在任何[u,b](a,b]上都可积,且满足()dbafxx3.非负函数比较判别法0()(),(,],fxgxxabMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析比较判别法渐近性态若g(x)0,且则有:()lim,()xafxcgxMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析Cauchy判别法上可积,则(i)当设f定义于(a,b],a为其瑕点,且在任何[u,b](a,b](ii)当|()|,()pMfxxa|()|,()pMfxxaMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析Cauchy判别法渐近性态则有:上可积.如果设f定义于(a,b],a为其瑕点,且在任何[u,b](a,b]lim()(),pxaxafx1()()pfxxaMathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析Dirichlet判别法(2)g(x)在(a,b]当xa+时单调趋于0.原理：Cauchy判别准则，积分第二中值定理。若4.变号函数判别法f(x)的原函数是有界函数MathematicalAnalysis数学分析MathematicalAnalysis数学分析Abel判别法若(2)g(x)在(a,b]上单调有界[e-mail]数学分析MathematicalAnalysis数学分析课本各节习题(略)[e-mail]数学分析MathematicalAnalysis数学分析看§1例3-6；§2例1-4；§3例1-2.各原布置习题做§1习题1(1,5),2(3,5,7)；§2习题4(3,5),5(1,2,3,4),6,8,9；§3习题3(2,4,6,8),4(2).总练习题1,4,[e-mail]