实变函数测试题与答案

1实变函数测试题一，填空题1.设1,2nAn,1,2n,则limnnA.2.,,ab,因为存在两个集合之间的一一映射为.3.设E是2R中函数1cos,00,0xyxx的图形上的点所组成的集合，则E，E.4.若集合nER满足EE,则E为集.5.若,是直线上开集G的一个构成区间,则,满足:,.6.设E使闭区间,ab中的全体无理数集,则mE.7.若()nmEfx()0fx,则说()nfx在E上.8.设nER,0nxR,若,则称0x是E的聚点.9.设()nfx是E上几乎处处有限的可测函数列,()fx是E上几乎处处有限的可测函数,若0,有2,则称()nfx在E上依测度收敛于()fx.10.设()()nfxfx,xE,则()nfx的子列()jnfx,使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例.1.若,AB可测,AB且AB,则mAmB.2.设E为点集,PE,则P是E的外点.3.点集11,2,,En的闭集.4.任意多个闭集的并集是闭集.5.若nER,满足*mE,则E为无限集合.三,计算证明题1.证明:ABCABAC2.设M是3R空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M为可数集.3.设nER,iEB且iB为可测集,1,2i.根据题意,若有*0,imBEi,证明E是可测集.4.设P是Cantor集,32ln1,(),0,1xxPfxxxP.求10(L)()fxdx.5.设函数()fx在Cantor集0P中点x上取值为3x,而在0P的余3集中长为13n的构成区间上取值为16n,1,2n,求10()fxdx.6.求极限:13230lim(R)sin1nnxnxdxnx.4实变函数试题解答一填空题1.0,2.2.()tan,,.2xxaxabba3.1(,)cos,0(0,)1xyyxyyx;.4.闭集.5.,.,.GGG6.ba.7.几乎处处收敛于()fx或a.e.收敛于()fx.8.对000,(,)Ux有0Ex.9.lim()()0nnmEfxfx10.()()nfxfxa.e.于E.二判断题1.F.例如,(0,1)A,0,1B,则AB且AB,但1mAmB.2.F.例如,0(0,1),但0不是(0,1)的外点.53.F.由于0EE.4.F.例如,在1R中,11,1nFnn,3,4n是一系列的闭集,但是3(0,1)nnF不是闭集.5.T.因为若E为有界集合,则存在有限区间I,I,使得EI,则**,mEmII于*mE.三,计算证明题.1.证明如下:SSSSSABCABCABCABCABACABAC2.M中任何一个元素可以由球心(,,)xyz,半径为r唯一确定,x,y,z跑遍所有的正有理数,r跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故M为可数集.3.令1iiBB,则iEBB且B为可测集,于是对于i,都有iBEBE,故6**0imBEmBE,令i,得到*0mBE,故BE可测.从而EBBE可测.4.已知0mP,令0,1GP,则13202210130(L)()(L)ln1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGfxdxxdxxdxfxdxxdxxdxfxdxx.5.将积分区间0,1分为两两不相交的集合:0P,1G,2G,其中0P为Cantor集,nG是0P的余集中一切长为13n的构成区间(共有12n个)之并.由L积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP,可得701000010111111()()()()()1()61126631112916nnPGPGnnPGnnnnnnnnnnfxdxfxdxfxdxfxdxfxdxfxdxdxmG6.因为323sin1nxnxnx在0,1上连续,13230(R)sin1nxnxdxnx存在且与13230(L)sin1nxnxdxnx的值相等.易知323232323211sin.11122nxnxnxnxnxnxnxxx由于12x在0,1上非负可测，且广义积分1012dxx收敛，则12x在0,1上(L)可积，由于323limsin01nnxnxnx，0,1x，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到11332323001323010lim(R)sinlim(L)sin11limsin100nnnnxnxnxdxnxdxnxnxnxnxdxnxdx.8