第四讲-利用导数研究函数的最值

第四讲利用导数研究函数的最值【考纲考情】考试说明会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)趋势分析函数的最值是高考热点内容，对最值的考查主要有两个命题角度：①判断最值的情况；②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的最值情况求参数的取值范围也是热点考查内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大函数最值问题(1)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)．若函数f(x)在开区间(a，b)上的图象连续不断，且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最值点．|题型|利用导数研究函数的最值(课堂共研)[高考分析]函数的最值是高考的热点内容，考查函数的最值的同时必然涉及函数单调性，还会涉及方程和不等式，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中．命题角度一.求函数的最值例1．函数y＝xex的最小值是()A．－1B．－eC．－1eD．不存在C解析y′＝ex＋x·ex.令y′＝0，得x＝－1.∵x＜－1时，y′＜0；x＞－1时，y′＞0，∴x＝－1是函数唯一的极小值点，即为最小值点，∴x＝－1时，ymin＝－1e，故选C.例2．函数f(x)＝12x2－lnx的最小值为()A．12B．1C．0D．不存在解析f′(x)＝x－1x＝x2－1x，且x＞0.令f′(x)＞0，得x＞1;令f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝12－ln1＝12.A例3.已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．解析(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)递减－ek－1递增∴f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，∴f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k.当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，∴f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，∴f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝f(0)＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝f(k－1)＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)e.[方法指导]求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，首先应判断函数在[a，b]上的单调性，若函数在[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)，f(b)一个为最大值，一个为最小值．若函数在[a，b]上不单调，一般先求[a，b]上f(x)的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值．[易错警示]求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．命题角度二.利用最值求参数例1．若关于x的不等式x3－3x＋3－xex－a≤0有解，其中x≥－2，则实数a的最小值为()A．1－1eB．2－2eC．2e－1D．1＋2e2A解析变形可得a≥x3－3x＋3－xex，设f(x)＝x3－3x＋3－xex，则f′(x)＝3x2－3＋1－xex.令f′(x)＝0，解得x＝1，故当x∈[－2，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在[－2，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．∴f(x)min＝f(1)＝1－3＋3－1e＝1－1e，故选A.例2．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝lnx－axa＞12，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A．14B．13C．12D．1D解析∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0，2)上的最大值为－1.当x∈(0，2)时，f′(x)＝1x－a，令f′(x)＝0得x＝1a，又a＞12，∴0＜1a＜2.当0＜x＜1a时，f′(x)＞0，f(x)在0，1a上单调递增；当x＞1a时，f′(x)＜0，f(x)在1a，2上单调递减，∴f(x)max＝f1a＝ln1a－a·1a＝－1，解得a＝1.例3．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20B．18C．3D．0A解析f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)·(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1，1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，∴在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3，2]上，f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，∴t的最小值是20.例4．若函数f(x)＝－x2＋ax＋2lnx在(1，2)上有最大值，则a的取值范围为()A．(0，＋∞)B．(0，3)C．(3，＋∞)D．(1，3)B解析f′(x)＝－2x＋a＋2x＝－2x2＋ax＋2x，要使函数f(x)＝－x2＋ax＋2lnx在(1，2)上有最大值，则函数f(x)＝－x2＋ax＋2lnx在(1，2)上有极大值．即方程－2x2＋ax＋2＝0有两个不等实根，且较大根在区间(1，2)上．∴－2×12＋a·1＋2＞0，－2×22＋a·2＋2＜0，解得0＜a＜3.