利用导数研究函数的极值-共47页PPT资料

3.33.3.2利用导数研究函数的极值理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第三章导数及其应用考点三知识点一知识点二考点四返回返回3．3.2利用导数研究函数的极值返回返回在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近所有点的最高点．同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是附近所有点的最低点．群山的最高处是所有山峰中的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底中的最低者的底部．如图是函数y＝f(x)的图象．返回问题1：y＝f(x)在x＝a处的导数f′(a)等多少？提示：f′(a)＝0.问题2：当x＝a时，f(x)取最大值吗？提示：不是，但f(a)比x＝a附近的函数值都大．问题3：在x＝a附近两侧导数f′(x)的符号有什么特点？提示：左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.问题4：当x＝d时，请回答以上问题．提示：①f′(d)＝0；②f(d)比x＝d附近的函数值都小；③在x＝d附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.返回1．极值点与极值的概念已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值，和统称为极值点．f(x)f(x0)y极大值＝f(x0)f(x)f(x0)y极小值＝f(x0)极大值点极小值点返回2．求可导函数y＝f(x)极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号，则f(x0)是极小值．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号，则f(x0)不是极值．f′(x)＝0由正变负由负变正不变返回假设函数y＝f(x)、y＝g(x)、y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)．返回问题1：这三个函数在[a，b]上一定能取得最大值与最小值吗？提示：能．问题2：函数的极值一定是最大值或最小值吗？提示：不一定，最大值或最小值也可能是区间端点的函数值．问题3：如何求函数的最大值和最小值？提示：比较极值与端点的函数值，最大的为最大值，最小的为最小值．返回1．函数在闭区间[a，b]上的最值假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是的曲线，该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，若函数在(a，b)是可导的，该函数的最值必在或取得．2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]的最大(小)值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有；(2)计算函数f(x)在和函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．一条连续不断极值点区间端点极值点极值点端点的返回1．一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还要满足在此点附近左右两侧函数的单调性相反，单调性一致时，不能作为极值点，如f(x)＝x3，x＝0满足f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．2．函数的极值是一个局部概念，它反映的是某个点的函数值与它附近的函数值的大小情况．3．在定义域的某个区间内极大值或极小值并不一定唯一，也可能不存在极值，并且极大值不一定大于极小值．返回4．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值至多只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．返回返回[例1]求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3lnx；(2)f(x)＝x3－12x；(3)f(x)＝2xx2＋1－2.[思路点拨]解答本题可先求使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧函数的单调性，进而判断极值．返回[精解详析](1)函数f(x)＝3x＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3x－1x2，令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘3↗因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(1)＝3.返回(2)函数f(x)的定义域为R；f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2或x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗16↘－16↗∴由上表可知，当x＝－2时，f(x)有极大值16，当x＝2时，f(x)有极小值－16.返回(3)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2x2＋1－4x2x2＋12＝－2x－1x＋1x2＋12.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘返回由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值f(－1)＝－22－2＝－3，当x＝1时，函数有极大值f(1)＝22－2＝－1.返回[一点通]求极值的方法：(1)求f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；(2)用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表；(3)由f′(x)在各个小区间内的符号，判断f′(x)＝0的根处的极值情况．返回1．函数y＝2－x2－x3的极值情况是()A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D．既有极大值又有极小值返回解析：由y′＝－2x－3x2＝0解得x＝0或x＝－23.又x∈(－∞，－23)时，y′0，y为减函数；x∈(－23，0)时，y′0，y为增函数；x∈(0，＋∞)时，y′0，y为减函数，∴当x＝－23时，y极小值＝5027，当x＝0时，y极大值＝2.答案：D返回2．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝lnxx.解：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗10↘－22↗返回(2)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－lnxx2，令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗1e↘因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝1e，没有极小值.返回[例2]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10.求常数a，b的值．[思路点拨]由函数f(x)在x＝1处有极值10，可得f′(1)＝0且f(1)＝10，由此列出方程求a，b的值，但还要注意检验求出的a，b的值是否满足函数取得极值的条件．[精解详析]f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得f1＝10，f′1＝0，即1＋a＋b＋a2＝10，3＋2a＋b＝0，返回解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去；而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.返回[一点通]已知函数极值，确定函数的解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．返回3．若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取极值，则a＝________.解析：∵f′(x)＝(x2＋ax＋1)′＝x2＋a′·x＋1－x2＋ax＋1′x＋12＝x2＋2x－ax＋12，又∵在x＝1处取极值，∴f′(1)＝3－a4＝0，∴a＝3，经检验a＝3时x＝1是极值点．答案：3返回4．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝12，b＝0，c＝－32.返回(2)f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x－1或x1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.返回[思路点拨]求f′x→令f′x＝0得到相应的x的值→列表→确定极值点→求极值与端点值并比较大小→确定最值.[例3]求下列函数的最值．(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；(2)f(x)＝12x＋sinx，x∈[0,2π]．返回[精解详析](1)f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)，令f′(x)＝0，∴x2－2＝0，∴x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：x－1(－1，2)2(2，3)3f′(x)－0＋f(x)10↘－82↗18因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f(2)＝－82，所以当x＝2时，f(x)取得最小值－82；当x＝3时，f(x)取得最大值18.返回(2)f′(x)＝12＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝23π或x＝43π.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x0(0，23π)23π(23π，43π)43π(43π，2π)2πf′(x)＋0－0＋f(x)0↗π3＋32↘23π－32↗π∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.返回[一点通]求函数在闭区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．返回5．函数f(x)＝x3－3x＋3，当x∈[－32，52]时，函数f(x)的最小值是()A.338B．－5C．1D.898返回解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x1＝－1，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x－32(－32，－1)－1(－1,1)1(1，52)52f′(x)＋0－0＋f(x)338↗5↘1↗898由上表可知当x＝1时，f(x)取最小值1.答案：C返回6．求函数f(x)＝13x3－4x＋4在[0A,3]上的极值及最大值与最小值．解：∵f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－0＋f(x)4↘－43↗1∴函数f(x)＝13x3－4x＋4在[0,3]上有极小值且f(x)极小值＝－43，最大值为4，最小值为－43.返回[例4]已知f(x)＝lnx－x＋a，x∈(0,2]．若f(x)a2－3对任意的x∈(0,2]恒成立，求实数a的取值范围．[思路点拨]求导数→