电动力学chapter2

第二章静电场本章重点：本章难点：静电势及其满足的微分方程及边值关系、分离变量法、镜象法分离变量法（柱坐标）静电场的标势、及其微分方程和边值关系，静电场的能量分离变量法、镜象法本章主要内容唯一性定理的内容及意义静电场的基本特点：21()0neEE21()neDD边值关系：由静止电荷产生的场，不随时间变化0ED基本方程：1．静电势的引入一、静电场的标势0EE静电场标势[简称电势]②取负号是由于电场方向从高电势指向低电势满足迭加原理③E①的选择不唯一，可相差一个常数，只要即可确定知道)(2121221121EEEEE§2.1静电势及其微分方程2、电势差空间某点电势无物理意义，两点间电势差才有意义电势差为电场力将单位正电荷从P移到Q点所作功负值)(PQ)(PQ①电场力作正功，电势下降电场力作负功，电势上升)0(LldE②两点电势差与作功的路径无关ldElddQPPQldE●等势面：电势处处相等的曲面EnEe与等势面垂直，即点电荷电场线与等势面+电偶极子的电场线与等势面均匀场电场线与等势面参考点通常选无穷远为电势参考点)(0Q（1）电荷分布在有限区域，PPldEP点电势为将单位正电荷从P移到∞电场力所做的功。（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。3、电荷分布在有限区几种情况的电势（1）点电荷rQrrQdldrrQPPP02030444)(（2）电荷组niiirQP104)(rQff04Q产生的电势PQrQPP04产生的电势rQrQQfPfPf440))1((0fPQQ（3）无限大均匀线性介质中点电荷rQ4点电荷在均匀介质中的空间电势分布（Q为自由电荷）（4）连续分布电荷VrVdxP04)()(二、静电势的微分方程和边值关系1.电势满足的方程2适用于均匀介质泊松方程导出过程2E拉普拉斯方程20适用于无自由电荷分布的均匀介质DEED,2．静电势的边值关系(1)两介质分界面QPPQldE0PQQP12QP12neSSS21SSnn1122nnEE1122nEn21()neDDnnDD12ED由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系。（2）导体表面上的边值关系常数s|snnEdSndSQSS三．静电场的能量DEw211.一般方程：能量密度,2.若已知总能量为VdVW2121不是能量密度总能量dVDEW21仅讨论均匀介质)()(DDDDDEdVDdVW)(2121导出过程：10SDdSrDdSrdVW21该公式只适合于静电场情况。能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。r121rD2rdS()SDdVDdSS四、例题0E1.求均匀电场的电势解：均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器产生的电场。因为电荷分布在无穷区域，可选空间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势0yzxθPR0E0000000)(PPPREldEldEldEP)cos()(000000REZEREP2.电偶极子产生的电势l2解：电偶极子：两个相距为的同量异号点电荷构成的系统偶极矩)11(4)(0rrQPP点电势：（无穷远为零点）zeQlP2rrzxyl2R-QQ)(RlPcos2222RllRrcos)cos2211(/cos21lRRlRRlRrcoslRr同理2222cos2coscos211RllRlrrrrrr30302044cos24cos2)(RRpRQlRRQlPxy平面为等势面（Z=0的平面）。求近似值：若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：)(Rl34RRP注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质，而00pE用真空中的。这由决定。QQp)1(0PeQlelQPzzPp)1(220303030304)]1(1[444RRPRRPRRPRRPp均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设为束缚电荷，pQ3.42页例2（自学）4．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。根据对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性。当考虑较远处场时，导体球可视为点电荷。)0(rBrA)(02ar满足aQP)0(03rrr0,rrAB0)(443020arrrQrrQE此题也可用高斯定理（积分形式）求解。2202004aaAdSaAdSrQar2rArn04QA)(40arrQ内表面)(40araQ==),,2,1(2miii一、泊松方程和边界条件假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性的设V内各分区电势为，它们满足泊松方程iSSnSndSnQSSS两类边界条件：①边界S上，为已知，若为导体=常数。②边界S上，为已知，给定（）定总电荷Q。它相当于若是导体要给§2.2唯一性定理ijijSiiSjjnn内边界条件为边值关系注：在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体面上的边界条件可视为外边界条件。ijijSjSiijijSiiSjjnnneji：V内两介质分界面上自由电荷为零二、唯一性定理1．均匀单一介质2电场）唯一确定。S分布已知，满足若V边界上已知，或V边界上已知，则V内场（静区域内Sn证明：211222假定泊松方程有两个解，有S1S2SSn1Sn2在边界上sn21令022122SnSn102Sn由第一格林公式021SSS令则VSSddV))((2202VdV0)(20SSSd0由于0)(2积分为零必然有021常数VSSddV)(20S21（1）若给定的是第一类边值关系即常数为零。电场唯一确定且电势也是唯一确定的。虽不唯一，但电场0Sn2121,E（2）若给定的是第二类边值关系常数，相差一个常数，是唯一确定的。2.介质分区均匀（不包含导体）i2SSnijijSjSi已知，成立，给定区域边界上的值或。在分界面上，满足或V内（证明见书P.44）sv123区域V内电场唯一确定ijijSiiSjjnn3.均匀单一介质中有导体（证明见P.45）总电荷Q1、Q2为已知，则区域VSSn已知，及导体上的或内电场唯一确定。当0E，内的电荷分布导体中VdSnQsQ2Q1SS1S2V三、唯一性定理的意义对于所得解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，因而唯一性定理具有十分重要的实用价值。唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度指明了方向。四、应用举例1.半径为a的导体球壳接地，壳内中心放置一个点电荷Q，求壳内场强。Q0S解：点电荷Q放在球心处，壳接地02)0(R因而腔内场唯一确定。0S不满足已知点电荷产生的电势为RQ014aQS014但它在边界上要使边界上任何一点电势为0，RQ04aQ04设020S它满足根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。)(430aRRRQE可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。Q2.带电荷Q的半径为a的导体球放在均匀无限大介质中，求空间电势分布。解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。假定电场也具有球对称性，则电势与坐标,无关。0因电荷分布在有限区，外边界条件导体表面电荷Q已知，电场唯一确定。设BRA3RRARA)(03aRRRA02R0R0B满足，在导体边界上22244SSRaAAaQdSdSARaa3．两种均匀介质（和）充满空间，一半径a的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在界面上），求空间电势分布。1212aQ)(44aRRQQA)(43aRRRQE210(),PneEEE利用QQP)1(021RQ4场对称对称性分析：21场仍对称！在两介质分界面上：ttnnEEDD2121,012pnnEE0p束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在介质分界面上，所以可考虑球外电场仍具有球对称性。21EE试探解002222212111drcdrc12aQP2E1ES2S1给定，所以球外场唯一确定。0解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区导体上Q212211SarSardSrdSrQ121222SSccdSdSaa22122222ccaaaa122()c确定常数0021ddrSS21ccc21在介质分界面上)(221QcrQ)(2211rQ)(2212下半空间上半空间)()(421arrQ导体球面上面电荷分布：2211111)(2aQrar2212222)(2aQrar下半球面上均匀分布上半球面上均匀分布其他实例：Q右半空间电势？Q球壳内空间电势？1101)1(P2102)1(P束缚电荷分布：21、空间，自由电荷只分布在某些介质（或导体）表面上，将这些表面视为区域边界，区域内电势满足拉普拉斯方程。0一、拉普拉斯方程的适用条件2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电荷分布在真空中产生的势为已知。一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和，即