空间向量与立体几何

题型专题(十)空间向量与立体几何主要考查基础知识、基本技能，应用所学分析解决问题的能力考点一：利用空间向量证明空间位置关系——据两类向量(方向向量、法向量)定向，靠准确运算解题设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a2＝ka3，b2＝kb3，c2＝kc3.(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.[典例]如图所示，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.[证明]以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E12，1，12，F0，1，12，EF＝－12，0，0，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．(1)因为EF＝－12AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.又因为AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.向量证明平行与垂直的四个步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题．[即时应用]在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.证明：(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，C1(0,2,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，1BD＝(0,2，－2)，1BD·BA＝0，1BD·BD＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，Ga2，1，4，F(0,1,4)，则EG＝a2，1，1，EF＝(0,1,1)，1BD·EG＝0＋2－2＝0，1BD·EF＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.考点二：利用空间向量求线线角、线面角——遵循解题四步骤，关键是把坐标求1.向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b|.2.向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝|n·a||n||a|.[典例](2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．[解](1)证明：如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G­xyz.由(1)可得A(0，－3，0)，E(1,0，2)，F－1，0，22，C(0，3，0)，所以AE＝(1，3，2)，CF＝－1，－3，22.故cos〈AE，CF〉＝AE·CF|AE||CF|＝－33.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33.1．利用空间向量求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标；(3)结合公式进行论证、计算；(4)转化为几何结论．2．求空间角应注意的问题(1)两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝|cosβ|.(2)直线与平面所成角和直线的方向向量和平面法向量的夹角并不一定互余．[即时应用](2015·江西八所中学联考)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA＝AB＝2，BC＝12AD，E是线段AB的中点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．解：(1)证明：因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，所以AD⊥PE.又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PE⊥AB.因为AD∩AB＝A，所以PE⊥平面ABCD.而CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD.(2)以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系E­xyz.则E(0,0,0)，C(1，－1,0)，D(2,1,0)，P(0,0，3)．ED＝(2,1,0)，EP＝(0,0，3)，PC＝(1，－1，－3)．设n＝(x，y，z)为平面PDE的法向量．由n·ED＝0，n·EP＝0，即2x＋y＝0，3z＝0.令x＝1，可得n＝(1，－2,0)．设PC与平面PDE所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈PC，n〉|＝|PC·n||PC|·|n|＝35.所以PC与平面PDE所成角的正弦值为35.考点三：利用空间向量求二面角——两角(法向量夹角、二面角)时同时异应辨清向量法求二面角求出二面角α­l­β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α­l­β所成的角θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|；若二面角α­l­β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2||n1||n2|.[典例](2015·重庆高考)如图，三棱锥P­ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π2.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A­PD­C的余弦值．[解](1)证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，得PC⊥DE.由CE＝2，CD＝DE＝2，得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD.(2)由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝π4.如图，过D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1.又已知EB＝1，故FB＝2.由∠ACB＝π2，得DF∥AC，DFAC＝FBBC＝23，故AC＝32DF＝32.以C为坐标原点，分别以CA，CB，CP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，P(0,0,3)，A32，0，0，E(0,2,0)，D(1,1,0)，ED＝(1，－1，0)，DP＝(－1，－1,3)，DA＝12，－1，0.设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·DP＝0，n1·DA＝0，得－x1－y1＋3z1＝0，12x1－y1＝0，故可取n1＝(2,1,1)．由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为ED，即n2＝(1，－1,0)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝36，故所求二面角A­PD­C的余弦值为36.求平面的法向量的方法(1)待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程求解．(2)先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．[说明]两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角．[即时应用](2015·贵阳监测考试)如图，已知四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AB⊥AC，AB＝AC＝PA＝2，E是BC的中点．(1)求异面直线AE与PC所成的角；(2)求二面角D­PC­A的平面角的余弦值．解：(1)如图所示，以A点为原点建立空间直角坐标系A­xyz，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)．故E(1,1,0)，AE＝(1,1,0)，PC＝(0,2，－2)，cos〈AE，PC〉＝AE·PC|AE|·|PC|＝12，即〈AE，PC〉＝60°，故异面直线AE与PC所成的角为60°.(2)在四边形ABCD中，∵AB＝AC＝2，AB⊥AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，又AD⊥CD，∴AD＝CD＝2，∴D(－1,1,0)，又C(0,2,0)，∴CD＝(－1，－1,0)，PC＝(0,2，－2)．设n＝(x，y，z)是平面PCD的法向量，则CD⊥n，PC⊥n，即CD·n＝0，PC·n＝0，∴－x－y＝0，2y－2z＝0，令x＝－1得，y＝1，z＝1，即n＝(－1,1,1)，|n|＝3，又AB⊥平面PAC，∴AB＝(2,0,0)是平面PAC的一个法向量，∴cos〈AB，n〉＝AB·n|AB|·|n|＝－33，即二面角D­PC­A的平面角的余弦值为33.主要考查迁移思维、数学素养，多角度、创造性地思考和解决问题的能力常考常新的空间直角坐标系的建立空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题.解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题一个新的命题点.[典例](2015·福建高考)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．[学审题](1)取AE中点H――――――――――→G是线段BE的中点GH綊12AB―→GH綊DF―→▱HGFD―→HD∥GF―→GF∥平面ADE(2)AB⊥平面BEC―――――→做辅助线BQ⊥BE―→BE，BQ，BA两两垂直―→建系―→所需点的坐标―→平面ADE的法向量―→结果[解](1)证明：如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝12AB.又F是CD的中点，所以DF＝12CD.由四边形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.(2)如图，在