高中不等式总结(解法与证明)

不等式解法1、不等式的基本性质（8条）2、一元二次不等式的解法（注意讨论）求一元二次不等式20(0)axbxc++或2(0,40)abac≠Δ=-解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.3、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.4、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()fxfxgxgxfxgxfxgxgx⇔⋅⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.5、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)aaaaa≥⎧=⎨-⎩⑵平方法：22()()()().fxgxfxgx≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有：①(0);xaaxaa≤⇔-≤≤≥②(0);xaxaxaa≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)fxgxgxfxgxgx≤⇔-≤≤≥④()()()()()()(()0)fxgxfxgxfxgxgx≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.6、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.7、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0()(0)()fxfxaafxa≥⎧⇔⎨⎩⑵2()0()(0)()fxfxaafxa≥⎧⇔⎨⎩⑶2()0()0()()()0()0()[()]fxfxfxgxgxgxfxgx⎧≥⎧⎪⇔≥⎨⎨⎩⎪⎩或⑷2()0()()()0()[()]fxfxgxgxfxgx≥⎧⎪⇔⎨⎪⎩⑸()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx≥⎧⎪⇔≥⎨⎪⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.8、指数不等式的解法：⑴当1a时,()()()()fxgxaafxgx⇔⑵当01a时,()()()()fxgxaafxgx⇔规律：根据指数函数的性质转化.9、对数不等式的解法⑴当1a时,()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx⎧⎪⇔⎨⎪⎩⑵当01a时,()0log()log()()0.()()aafxfxgxgxfxgx⎧⎪⇔⎨⎪⎩规律：根据对数函数的性质转化.10、含参数的不等式的解法解形如20axbxc++且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论Δ与0的大小；⑶讨论两根的大小.11、恒成立问题⑴不等式20axbxc++的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a=时0,0;bc⇒=②当0a≠时00.a⎧⇒⎨Δ⎩⑵不等式20axbxc++的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a=时0,0;bc⇒=②当0a≠时00.a⎧⇒⎨Δ⎩⑶()fxa恒成立max();fxa⇔()fxa≤恒成立max();fxa⇔≤⑷()fxa恒成立min();fxa⇔()fxa≥恒成立min().fxa⇔≥13、线性规划问题目标函数、线性目标函数、可行解、可行域不等式的证明1、几个重要不等式①()222abababR+≥∈，,（当且仅当ab=时取=号）.变形公式：22.2abab+≤②（基本不等式）2abab+≥()abR+∈，,（当且仅当ab=时取到等号）.变形公式：2abab+≥2.2abab+⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）33abcabc++≥()abcR+∈、、（当且仅当abc==时取到等号）.④()222abcabbccaabR++≥++∈，（当且仅当abc==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)abcabcabc++≥（当且仅当abc==时取到等号）.⑥0,2baabab+≥若则（当仅当a=b时取等号）0,2baabab+≤-若则（当仅当a=b时取等号）⑦banbnamambab++++1其中(000)abmn，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;axaxaxaxa⇔⇔-当时，或22.xaxaaxa⇔⇔-⑨绝对值三角不等式.ababab-≤±≤+2、几个著名不等式①平均不等式：2211222abababab--++≤≤≤+()abR+∈，,（当且仅当ab=时取=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22ababab++⎛⎞≤≤⎜⎟⎝⎠222().2abab++≥②幂平均不等式：222212121...(...).nnaaaaaan+++≥+++③二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy+++≥-+-1122(,,,).xyxyR∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).abcdacbdabcdR++≥+∈当且仅当adbc=时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().aaabbbababab++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)nnaaabbb++++++21122(...).nnababab≥+++⑦向量形式的柯西不等式（略）设,aburur是两个向量，则,abab⋅≤urururur当且仅当bur是零向量，或存在实数k，使kab=urur时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...nnaaabbb≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,nccc是12,,...,nbbb的任一排列，则12111122......nnnnnabababacacac-+++≤+++1122....nnababab≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和）当且仅当12...naaa===或12...nbbb===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()fx,对于定义域中任意两点1212,(),xxxx≠有12121212()()()()()().2222xxfxfxxxfxfxff++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.3、不等式证明的几种常用方法（略）常用方法有：比较法、分析法综合法、；比较法：作差比较法、作商比较法分析法：从结论出发分析不等式成立的充分条件，即欲证什么，只需证什么。综合法：从已知或已证明的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。其它方法有：换元法、反证法、放缩法、判别式法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242aa+++②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kkk-211,(1)kkk+