初三试讲---二次函数

1/9二次函数（一）、课标要求具体内容知识技能要求过程性要求⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺二次函数的定义、表达式√√二次函数的图象及性质√二次函数图象的顶点、开口方向、对称轴√二次函数的应用√利用二次函数求一元二次方程的近似解√知识点归纳：1、二次函数的定义一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．2、二次函数的自变量的取值范围（1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y＝2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围为全体实数．（2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．如圆的面积S与圆的半径r的关系式S＝πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r0，这里r不能小于或等于0．3、回顾学过的函数一次函数y＝kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y＝kx(k≠0).反比例函数(k≠0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系．领军教育·一对一讲义2/9二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质知识归纳:1、用配方法可把y=ax2＋bx＋c(a≠0)化成y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形状相同，只是位置不同．2、y=ax2＋bx＋c配方为，故抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为，对称轴为直线．3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质如下：①当a0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点．②当a0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最大值，则抛物线的顶点是其最高点．二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质知识归纳:1、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状与y=ax2(a≠0)的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k的顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h．3/92、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的性质如下：当a0时，若xh，则y随x的增大而减小；若xh，则y随x的增大而增大；当x=h时，y有最小值k；当a0时，若xh，则y随x的增大而增大；若xh，则y随x的增大而减小；当x=h时，y有最大值k．3、抛物线y=a(x－h)2＋k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的关系．抛物线y=ax2向右(h0)或向左(h0)平移|h|个单位，得抛物线y=a(x－h)2，再把抛物线y=a(x－h)2向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位得抛物线y=a(x－h)2＋k．（二）、知识要点1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。2.二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。yaxbxc2yaxhk()2yaxxxx()()12xx12，axbxc20yaxbxc2yaxbxc2yaxhk()2yax24/9③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。3.二次函数的性质函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）（a、h、k为常数，a≠0）a＞0a＜0a＞0a＜0图象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性(2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。(3)当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小(4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值yaxbxc2yaxhk()2yax2yaxbxc2yaxhk()2yaxbxc2yaxhk()2ba2baacba2442，ba2baacba2442，xba2xba2xba2xba2xhxba2yacba最小值442xba2yacba最大值442yk最小值yk最大值5/94.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当5.抛物线与x轴交点情况：对于抛物线①当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。②当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。经典例题：二次函数图像与系数的关系1．（2013•昭通）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根C．a+b+c=0D．当x＜1时，y随x的增大而减小2．（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）yaxbxc2yaxhk()2xhyk最小值yk最大值baacba2442，xba2ayxbayacba02442，有最小值，当时，；最小值a0xbayacba2442时，最大值yaxbxca20()≠bac240bac240bac2406/9A．①②B．③④C．①④D．①③3．（2013•烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④4．（2013•济宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0D．当x≥1时，y随x的增大而增大5．（2013•济南）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论正确的是（）7/9A．a＜0B．a﹣b+c＜0C．﹣D．4ac﹣b2＜﹣8a6．（2013•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O其中正确的是（）A．①③B．只有②C．②④D．③④7．（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③a﹣2b+4c＞0；④．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．1个D．4个8．（2013•滨州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．（2013•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（）8/9A．①②B．①③C．①③④D．①②③④）10.在图中，函数y=－ax2与y=ax+b的图象可能是()BxyxyxyxyACDOOOO11.求三角形面积的最值问题已知二次函数cbxaxy2过点A(-1,0)B(3,0)C(0,3)⑴求函数解析式⑵在第一象限的抛物线上是否存在一点N，使得CNB的面积最大，若存在，求出点N的坐标，若不存在请说明理。12.已知如图，抛物线）（0acax2-axy2与y轴交于点C（0,3），与x轴交于A,B两点，点A的坐标为（-1,0）.⑴求抛物线的解析式及顶点坐标；⑵设点P是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ABDC面积相等的四边形ACPB的点P的坐标；⑶在⑵的条件下，求APD的面积。9/9二次函数与三角形形似问题12．如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，=2，．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结，求的大小；（3）如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．.xoyM2(0yaxbxa）AxBAOOB0120AOBOMAOMCxABCAOMCMABOxy图9