高中数学复数

1.复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的，b叫做复数z的(i为虚数单位).(2)分类：知识梳理满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔_____a＋bi为虚数⇔______a＋bi为纯虚数⇔______________实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R).(5)模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作或，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.a＝c且b＝da＝c，b＝－d|a＋bi||z|a2＋b2Z(a，b)OZ→3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(bc+ad)iac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝，Z1Z2――→＝.OZ1→＋OZ2→OZ2→－OZ1→题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(4)原点是实轴与虚轴的交点.()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()基础自测×××√√12345672.[P106B组T1]设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|等于A.1B.2C.3D.2题组二教材改编答案解析√z＝i－11＋i＝－1－i22＝i，∴|z|＝|i|＝1.解析1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，12345673.[P112A组T2]在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是答案解析A.1－2iB.－1＋2iC.3＋4iD.－3－4i√解析CA→＝CB→＋BA→＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.1234567解析答案4.[P116A组T2]若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为A.－1B.0C.1D.－1或1√解析∵z为纯虚数，∴x2－1＝0，x－1≠0，∴x＝－1.1234567题组三易错自纠5.设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则A.b2＝3a2B.a2＝3b2C.b2＝9a2D.a2＝9b2解析答案1234567√解析(a＋bi)3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋(bi)3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.∵(a＋bi)3是实数，∴3a2b－b3＝0，∴3a2＝b2.解析答案6.设i是虚数单位，若z＝cosθ＋isinθ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限√解析∵z＝cosθ＋isinθ对应的点的坐标为(cosθ，sinθ)，且点(cosθ，sinθ)位于第二象限，∴cosθ0，sinθ0，∴θ为第二象限角，故选B.12345677.i2011＋i2012＋i2013＋i2014＋i2015＋i2016＋i2017＝___.1解析原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.解析答案1234567题型分类深度剖析p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z－2；p4：若复数z∈R，则z－∈R.1.(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题：题型一复数的概念自主演练解析答案p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；其中的真命题为A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p4√解析答案2.(2017·武邑中学期末)设i是虚数单位，复数a＋i2－i是纯虚数，则实数a等于A.2B.12C.－12D.－2√解析∵a＋i2－i＝a＋i2＋i5＝2a－1＋a＋2i5是纯虚数，∴2a－1＝0且a＋2≠0，∴a＝12，故选B.解析答案3.(2017·河南六市联考)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，则b＝______.2－bi1＋2i－23解析由2－bi1＋2i＝2－bi1－2i5＝2－2b－b＋4i5，得2－2b＝b＋4，得b＝－23.解析答案4.已知复数z满足z2＝－4，若z的虚部大于0，则z＝____.2i解析设z＝a＋bi(a，b∈R，b0)，则z2＝a2－b2＋2abi＝－4，因此a＝0，－b2＝－4，b＝±2，又b0，∴b＝2，∴z＝2i.解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.思维升华题型二复数的运算多维探究命题点1复数的乘法运算典例(1)(2018·长春质检)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2等于A.－5B.5C.－4＋iD.－4－i解析答案√解析∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2,1)，即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.(2)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a等于A.－1B.0C.1D.2解析答案√解析因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.(3)(2017·江苏)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________.解析答案解析方法一∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，10∴|z|＝－12＋32＝10.方法二|z|＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.命题点2复数的除法运算解析答案解析3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝3－3i＋i＋12＝2－i.典例(1)(2017·全国Ⅱ)3＋i1＋i等于A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i√解析答案解析z＝1＋2i，zz＝5，4izz－1＝i.(2)(2016·全国Ⅲ)若z＝1＋2i，则4izz－1等于A.1B.－1C.iD.－i√解析答案解析1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i2i＋1＋i－2i(3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝________.－1＝1＋i－2＋－1＋i2＝－1.∴|z|＝2.故选C.A.12B.22C.2D.2解析方法一由(1＋i)z＝2i，得z＝2i1＋i＝1＋i，命题点3复数的综合运算典例(1)(2017·全国Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|等于√方法二∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝2.故选C.解析答案(2)(2016·山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i√解析答案∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i，故选B.(3)(2016·全国Ⅲ)若z＝4＋3i，则z|z|等于A.1B.－1C.45＋35iD.45－35i解析z＝4＋3i，|z|＝5，z|z|＝45－35i.√解析答案复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.思维升华A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i跟踪训练(1)1＋i31－i2等于√解析答案(2)已知1－i2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于解析答案A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i解析由1－i2z＝1＋i，知z＝1－i21＋i＝－2i1＋i＝－1－i，故选D.√(3)－23＋i1＋23i＋21－i2017＝____________.解析答案解析－23＋i1＋23i＋21－i201722＋22＋1i＝i1＋23i1＋23i＋21－i21－i21008＝i＋i1008·22(1＋i)＝22＋22＋1i.题型三复数的几何意义师生共研典例(1)(2017·北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A.(－∞，1)B.(－∞，－1)C.(1，＋∞)D.(－1，＋∞)解析答案√解析∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴a＋10，1－a0，解得a－1.故选B.(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的A.内心B.垂心C.重心D.外心解析答案√解析由几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等，z对应的点是△ABC的外心.(3)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：解答①AO→，BC→所表示的复数；解∵AO→＝－OA→，∴AO→所表示的复数为－3－2i.∵BC→＝AO→，∴BC→所表示的复数为－3－2i.②对角线CA→所表示的复数；解∵CA→＝OA→－OC→，∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③B点对应的复数.解答解OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，∴OB→所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.思维升华解答跟踪训练已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.课时作业A.1B.2C.3D.21.(2016·全国Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于基础保分练解析答案√1234567891011121314151617181920解析由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，由复数相等得x＝1，x＝y，解得x＝1，y＝1.所以|x＋yi|＝x2＋y2＝2，故选B.解析答案2.(2018·太原模拟)复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12345678910111213141516171819201－i2－i解析复数1－i2－i＝1－i2＋i2－i2＋i＝35－15i，∴其对应的点为35，－15，在第