二次函数与一元二次方程、不等式---

二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是:ax2+bx+c0(a≠0)或ax2+bx+c0(a≠0).【思考】(1)不等式x2+0是一元二次不等式吗?提示:不是,一元二次不等式一定为整式不等式.(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗?提示:不可以,若a=0,就不是二次不等式了.2x2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0y=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等的实数根(x1x2)有两个相等的实数根(x1=x2)无实数根Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0ax2+bx+c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}{x|x≠x1}Rax2+bx+c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅【思考】仔细观察上表,回答下列问题(1)有人说:当Δ0时,表中的x1,x2有三重身份,你能说出是哪三重身份吗?提示:x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点),又是一元二次方程的两个解,还是一元二次不等式解集的区间端点.(2)当Δ=0时,不等式ax2+bx+c≥0(a0)与ax2+bx+c≤0(a0)的解集分别是什么?提示:R,{x|x=x1}【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)mx2-5x0是一元二次不等式.()(2)若方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为R.()(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等式f(x)0的解集不可能为{x|x1xx2}.()(4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点.()提示:(1)×.当m=0时,是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式.(2)×.若方程ax2+bx+c=0(a0)没有实根.则不等ax2+bx+c0的解集为∅.(3)×.当二次项系数小于0时,不等式f(x)0的解集为{x|x1xx2}.(4)√.当Δ0时,一元二次不等式的解集为空集,此时函数无零点.2.不等式2x≤x2+1的解集为()A.∅B.RC.{x|x≠1}D.{x|x1或x-1}【解析】选B.因为2x≤x2+1,所以x2-2x+1≥0,所以(x-1)2≥0,所以x∈R.3.不等式(2x-5)(x+3)0的解集为______.【解析】方程(2x-5)(x+3)=0的两根为x1=,x2=-3,函数y=(2x-5)(x+3)的图象与x轴的交点坐标为(-3,0)和,所以不等式(2x-5)(x+3)0的解集为.答案:525(0)2，5{x|3x}2－＜＜5{x|3x}2－＜＜类型一解一元二次不等式【典例】解下列不等式.(1)3x2-5x-20(2)-3x2+6x≤2(3)4x2-12x+90(4)-x2+6x-100【思维·引】结合二次函数的图象及一元二次方程求解.【解析】(1)Δ=(-5)2-4×3×(-2)=490,因此方程3x2-5x-2=0有两个不相等的实数根,解得x1=-,x2=2,作出函数y=3x2-5x-2的图象,如图1,结合图象可得原不等式的解集为.131{x|x2}3(2)方程3x2-6x+2=0中,Δ=120,所以方程3x2-6x+2=0有两个不相等的实数根,解得,作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图2,结合图象可得原不等式的解集为.123333xx33，3333{x|xx}33或(3)方程4x2-12x+9=0中,因为Δ=0,所以方程4x2-12x+9=0有两个相等的实数根,解得x1=x2=,作出函数y=4x2-12x+9的图象,如图3,结合图象可得原不等式的解集为.323{x|x}2(4)原不等式可化为x2-6x+100,在方程x2-6x+10=0中,因为Δ0,所以方程x2-6x+10=0无实数根,所以原不等式的解集为∅.【素养·探】本例考查解一元二次不等式,同时考查逻辑推理与直观想象的核心素养.若把本例(2)改为“0≤x2-x-2≤4”,该如何求解?【思维·引】可以转化为由两个不等式组成的不等式组,再求两个不等式解集的交集.【解析】原不等式可以化为由①,得x≥2或x≤-1.由②,得-2≤x≤3.所以不等式组的解集为{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3},所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3}.22xx20.xx24.①②【类题·通】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零.(2)计算相应的判别式.(3)当Δ0时,求出相应的一元二次方程的两根.(4)根据一元二次不等式解集的结构,写出其解集.【习练·破】1.（2019·天津高考）设x∈R，使不等式3x2+x-20成立的x的取值范围为________.【解析】3x2+x-20，即(x+1)(3x-2)0，即-1x，故x的取值范围是答案：232(1,).32(1,)32.解不等式:(1)2x2-3x-20.(2)x2-2x+20.【解析】(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2.因为函数是开口向上的抛物线,如图(1),所以不等式的解集是.121{x|x2}2(2)因为x2-2x+2=0的判别式Δ0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线,如图(2),所以原不等式的解集为R.【加练·固】不等式组的解集为______.【解析】由得所以0x≤1或2≤x3.答案:{x|0x≤1或2≤x3}22x3x20,x3x022x3x20,x3x0x1x20x3,或，类型二三个“二次”之间的关系【典例】若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4},求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集.世纪金榜导学号【思维·引】结合三个“二次”之间的关系求解.【解析】因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4},所以a0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可得,b34,ac34.aba,c12a.即所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化为-ax2+2ax+15a≥0,即x2-2x-15≥0,解得x≤-3或x≥5,故所求不等式的解集为{x|x≤-3或x≥5}.【内化·悟】1.一元二次不等式解集与一元二次方程之间有何关系?提示:一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根.2.不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4}与不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|-3≤x≤4}中,引起解集不同的原因是什么?提示:a值的正负不同.【类题·通】给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和ax2+bx+c=0的两实根,由根与系数的关系可知a,b,c之间的关系.(1)如果不等式ax2+bx+c0的解集为{x|dxe},则说明a0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=;若解集为{x|xd或xe},则说明a0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=.bacabaca(2)如果不等式ax2+bx+c0的解集为{x|dxe},则说明a0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=;若解集为{x|xd或xe},则说明a0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=.bacabaca【习练·破】若不等式ax2+bx+c≥0的解集是,求不等式cx2+bx+a0的解集.1{x|x2}3－【解析】由ax2+bx+c≥0的解集是知a0,又×2=0,则c0.又-,2为方程ax2+bx+c=0的两个根,所以.所以,所以.所以不等式变为0,即2ax2+5ax-3a0.1{x|x2}3－1()313cab5a3－＝b5c2.a3a3又52baca33，225(a)x(a)xa33－＋－＋又因为a0,所以2x2+5x-30.所求不等式的解集为.1{x|3x}2－＜＜类型三解含参数的一元二次不等式角度1对“Δ”进行讨论【典例】解关于x的不等式:x2-2ax+2≤0.世纪金榜导学号【思维·引】按照求一元二次不等式的解集的方法求解,由于判别式中含有参数a,因此应注意对判别式进行讨论.【解析】因为Δ=4a2-8,所以Δ0,即-a时,原不等式对应的方程无实根.又二次函数y=x2-2ax+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为∅.当Δ=0时,即a=±时,原不等式对应的方程有两个相等实根.222当a=时,原不等式的解集为{x|x=};当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-}.当Δ0,即a或a-时,原不等式对应的方程有两个不等实数,分别为x1=a-,x2=a+,且x1x2,所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.2222222a22a22a22a2综上所述,当-a时,原不等式的解集为∅;当a=时,原不等式的解集为{x|x=};当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-};当a或a-时,原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.222222222a22a2角度2对“解的大小”进行讨论【典例】解关于x的不等式x2-ax-2a20(a∈R).【思维·引】由于对应的一元二次方程有解,但解的大小不确定,故需要对解的大小进行讨论.【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)0.对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.①当a0时,x1x2,不等式的解集为{x|-ax2a};②当a=0时,原不等式化为x20,无解;③当a0时,x1x2,不等式的解集为{x|2ax-a}.综上,当a0时,原不等式的解集为{x|-ax2a};当a=0时,原不等式的解集为∅;当a0时,原不等式的解集为{x|2ax-a}.角度3对“二次项系数”进行讨论【典例】解关于x的不等式a(x2+1)≥2x.世纪金榜导学号【思维·引】由于a为二次项的系数,需要对a是否为0讨论,同时由于a的值不确定,还需要对对应方程的两根的大小进行讨论.【解析】原不等式可化为ax2-2x+a≥0.(1)当a=0时,不等式化为-2x≥0,解得x≤0.(2)当a0时,Δ=4-4a2=4(1-a2).①0a1时,Δ0,此时方程ax2-2x+a=0有两个不相等的实数根,x1=,x2=,所以此时x≤或x≥.211aa211aa211aa211aa②a=1时,不等式化为x2-2x+1≥0,此时x∈R.③a1时,Δ0,也有x∈R.(3)当a0时,Δ=4-4a2=4(1-a2).①-1a0时,Δ0,此时方程ax2-2x+a=0有两个不相等的实数根,x1=,x2=,所以此时≤x≤.211aa211aa211aa211aa②a=-1时不等式化为-x2-2x-1≥0解得x=-1.③a-1时,Δ0,有x∈∅.综上可知:当a-1时,不等式的解集为∅.当a=-1时,不等式的解集为{x|x=-1}.当-1a0时,不等式的解集为.2211a11a{x|x}aa当a=0时,不等式的解集为{x|x≤0}.当0a1时,不等式的解集为.当a≥1时,不等式的解集为R.2211a11a{x|xx}aa或【内化·悟】解含参数的一元二次不等式的关键是什么?提示:结合二次项系数和Δ值求解不等式的解集.【类题·通】解含参数的一元二次不等