一元二次不等式恒成立问题专项练习

1一元二次不等式恒成立问题专项练习例题：设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围.(3)对于任意m∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求实数x的取值范围.解：(1)要使mx2－mx－10恒成立，若m＝0，显然－10，满足题意；若m≠0，则m0，Δ＝m2＋4m0，即－4m0.∴－4m≤0.(2)方法一要使f(x)－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，就要使mx－122＋34m－60在x∈[1,3]上恒成立.令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3].当m0时，g(x)在[1,3]上是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝7m－60，∴0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1,3]上是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝m－60，得m6，∴m0.综上所述，m的取值范围是－∞，67.方法二当x∈[1,3]时，f(x)－m＋5恒成立，即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－60恒成立.∵x2－x＋1＝x－122＋340，又m(x2－x＋1)－60，∴m6x2－x＋1.∵函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m67即可.2综上所述，m的取值范围是－∞，67.(3)解f(x)－m＋5，即mx2－mx－1－m＋5，m(x2－x＋1)－60.设g(m)＝m(x2－x＋1)－6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2－x＋1＝x－122＋34＞0.∴g(m)在[1,3]上为增函数，要使g(m)0在[1,3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)0，即3(x2－x＋1)－60，x2－x－10，方程x2－x－1＝0的两根为x1＝1－52，x2＝1＋52，∴x2－x－10的解集为1－52，1＋52，即x的取值范围为1－52，1＋52.练习：1.当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立，则m的取值范围是________.解析：构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2).由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立.则有f10，f20，即1＋m＋4≤0，4＋2m＋4≤0，可得m≤－5，m≤－4，所以m≤－5.2.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是()A.m≥2B.m≤－2C.m≤－2或m≥2D.－2≤m≤2答案D解析由题意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.3.当不等式x2＋x＋k0恒成立时，k的取值范围为________.3答案14，＋∞解析由题意知Δ0，即1－4k0，得k14，即k∈14，＋∞.3.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为()A.1B.－1C.－3D.3答案C解析由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3，∴m的最大值为－3.4.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是()A.1x3B.x1或x3C.1x2D.x1或x2答案B解析设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)＞0恒成立且a∈[－1,1]⇔g1x2－3x＋20，g1x2－5x＋60⇔x1或x2，x2或x3⇔x1或x3.5.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－40恒成立，则实数a的取值范围是()A.(－∞，2)B.(－∞，2]4C.(－2,2)D.(－2,2]答案D解析当a－2≠0时，a－20，4a－22－4a－240，即a2，a24，解得－2a2.当a－2＝0时，－40恒成立，综上所述，－2a≤2.6.若不等式(a2－1)x2－(a－1)x－10的解集为R，则实数a的取值范围是________.答案－35，1解析①当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1.若a＝1，则原不等式为－10，恒成立，满足题意.若a＝－1，则原不等式为2x－10，即x12，不合题意，舍去.②当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是a2－10，Δ＝[a－1]2＋4a2－10，解得－35a1.综上，a的取值范围是－35，1.7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解(1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2，∴a的取值范围为[－6,2]．(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝x＋a22＋3－a24.5①当－a2－2，即a4时，f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，由－2a＋7≥a，得a≤73，∴a不存在；②当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝3－a24，由3－a24≥a，得－6≤a≤2，∴－4≤a≤2；③当－a22，即a－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a－4.综上，a的取值范围为[－7,2]．