搜索
2019/9/211.3.7信号的时频分析时频分析的基本任务是建立一个函数，要求这个函数不仅能够同时用时间和频率描述信号的能量分布密度，还能够以同样的方式来计算信号的其他特征量。这里只是简单介绍当前广泛采用的时频分析方法：短时傅里叶变换（STFT）、小波变换（WT）及时频分析的一些应用。2019/9/221、短时傅里叶变换（1）短时傅立叶变换原理短时傅立叶变换是研究非平稳信号最广泛使用的方法。假定我们听一段持续时间为1h的音乐，在开始时是有小提琴，而在结束时有鼓。如果用傅立叶变换分析整个1h的音乐，傅立叶频谱将表明对应小提琴和鼓的频率的峰值。频谱会告诉我们有小提琴和鼓，但不会给我们小提琴和鼓什么时候演奏的任何表示。最简单的做法是把1h划分成每5min一个间隔，并用傅立叶变换分析每一个时间间隔。在分析每一个时间间隔时，就会看到小提琴和鼓出现在哪个5min间隔。如果要求更好的局部化，那就把这1h划分成1min一个间隔，甚至更小的时间间隔，再用傅立叶变换分析每一个间隔。这就是短时傅立叶变换的基本思想：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以确定在哪个时间间隔存在的频率，这些频谱的总体就表现了频谱在时间上是怎样变化的。2019/9/23为了研究信号在时刻t的特性，人们加强在那个时刻的信号而衰减在其它时刻的信号。这可以通过用中心在t的窗函数h（t）乘信号来实现。产生的信号是：xt（）=x（）h（-t）改变的信号是两个时间函数，即所关心的固定时间t和执行时间。窗函数决定留下的信号围绕着时间t大体上不变，而离开所关心时间的信号衰减了许多倍，也就是2019/9/24因为改变的信号加强了围绕着时刻t的信号，而衰减了远离时刻t的信号，傅立叶变换将反映围绕着t时刻的频谱，即对于每一个不同的时间，都可以得到一个不同的频谱，这些频谱的总体就是时频分布Psp（t，f）。我们关心的是分析围绕着时刻t的信号，所以选择一个围绕着t具有峰值的窗函数。这样就可以在t时刻附近得到一个短持续时间信号，其傅立叶方程（上式）叫做短时傅立叶变换。下式确定的Psp（t，f）函数曲面图叫时频分布图。2019/9/25下图为鲸鱼发出的声音表示。画在主图左边的曲线是鲸鱼声音信号的时域波形，它清楚地告诉我们鲸鱼声强度或者响度怎样随时间而变化。在主图下面的曲线是能量谱密度，即傅立叶变换的绝对值平方。它表明哪些频率存在，以及它们的相对强度有多大。这个声音的频谱告诉我们频率范围大约从175Hz到325Hz。这个信息是有意义而且重要的，但是根据这个频谱告诉无法知道这些频率什么时候存在。例如，不可能通过观察频谱确切知道300Hz声音在什么时候产生，或者产生这个声音的总持续时间，或产生了多少次。主图反映了信号能量的时间频率联合分布密度，由此就可以确定作为时间进程的强度。这使我们能够了解各个时刻发生的情况：2019/9/26频率大约从175Hz开始，大体上在0.5s左右的时间内线性地增加到大约325Hz，然后停在那里约0.1s的时间，等等。作为对300Hz声音什么时候出现这个问题的回答，现在从图中可以知道在0.6s和1.3s出现两次。2019/9/27另外，在现实生活和工程实际中许多信号是暂态信号(非稳态信号)、其统计特性与时间有关．如语言信号、雷达信号、超声波信号等，这些信号不满足傅氏变换所要求的条件。傅立叶变换公式获得信号频谱信息需要无限长的时间，即不仅需要过去而且需要将来的时间信号去估计一个单一频率的频谱。另外，傅立叶变换式不能反映与时间变量有关的频率信息。除此之外、非稳态信号很可能在一个短时瞬间发生变化．即具有很强的时间局部性，并对整个频谱产生影响，很难从信号的频谱上确认这种时域内的瞬时变化的存在及其确切的频率信息。也就是说其傅氏变换的结果既不能有效地提供暂态信号的频域信息．也不能揭示暂态信号的时间特性。因此．暂态信号很难用傅氏变换进行分析。2019/9/28下图a所示为一白噪声信号中夹杂一个脉冲信号。二者分别为典型的稳态信号和暂态信号。该信号的频谱如图b所示。很难在频谱中看出脉冲信号的存在，这是因为白噪声信号是均匀的宽带频谱，而脉冲信号也具有宽带特性．只不过是其带宽取决于脉冲信号的作用时间。可采用“短时傅立叶变换”来对暂态信号进行分析。窗函数w(t)在整个信号上沿时间平移并且完成了连续重叠变换时，就可以得到与时间有关的信号频谱的描述。图9-2所示为STFT的连续重叠加窗示意图。该方法假定在一个有限的时窗w(t)内信号是稳态的．若时窗相当短，则假定应是成立的。将这些变换结果按时间顺序排列在时间轴上就得到了信号的时频描述(分布)，这种描述称之为信号的“频图”2019/9/292019/9/210图2STFT滑动示意图2019/9/211这样，就可以在时频表面得到一个信号能量的三维分布。这种分布类似于功率谱是信号能量在频率轴上的二维分布。这种信号的分析方法就称之为信号的时频分析。2019/9/212（2）测不准原理时间-带宽乘积定理，即测不准原理，是傅立叶变换对之间互相制约的关系表述。它在联合时频分析的讨论、抽象及其他方面起着重要的作用。在信号分析中，测不准原理就是一个众所周知的数学事实：窄波形产生宽频谱，宽波形产生窄频谱，时间波形和频率频谱不可能同时使其任意窄。2019/9/213（3）短时傅立叶变换的特点一方面，为了获取信号的短时傅立叶变换，把信号划分成许多小的时间间隔，但这种间隔是否越细越好？回答是否定的。因为在变窄到一定程度之后，得到的频谱就变得没有意义，而且表明与原信号的频谱完全不相符。原因在于把一个完全好得信号划分成短持续时间信号。但是，短持续时间信号有固有的宽频带，而这样的短持续时间信号几乎与原信号的特性没有关系。另一方面，为了获取高的频率分辩率，采用宽时窗做信号的短时傅立叶变换。但是，加大时窗宽度是与短时傅立叶变换的初衷相背的，因为它丢失非平稳信号中小尺度短信号的时间局部信息。2019/9/214由此可见，短时傅立叶变换由于采用固定窗，当非平稳信号中所含信号分量尺度范围很大时，采用多大的时窗宽度都无法正确揭示信号的时频谱，这是由于测不准原理对采用固定窗的短时傅立叶变换方法的制约。尽管有上述困难，但短时傅立叶变换方法在许多方面是理想的。它的意义是明确的，基本合理的物理原理，而且对于许多信号和情况，它给出了与我们的直观感知相符的极好的时频构造。2019/9/215（4）存在问题“短时博氏变换”方法虽然很早就被提出，但由于具有若干局限性，限制了这种方法在工程中的广泛应用。以下从三个方面对其局限性进行分析。2019/9/216窗函数选择的限制对一个待定的信号来说，一个特定的窗可能比所有其他的窗都更为合适、即具有较好的分析精度。但若一个信号是由两个信号构成，就有可能每一个信号都要求有自己的窗才能有最好的分析精度。很显然，仅有一个窗用于这两个信号是很难获得最佳分析精度的。如图9-5a所示为一合成信号．是两个频率分别为64Hz相194Hz的两个正弦信号的合成。图9-5b是一个频率为128Hz的正弦信号，但有一个64个采样点的间隙。2019/9/2172019/9/2182019/9/219图9-6、图9-7均为上述两个信号的STFT分析结果，其中图a为窗函数具有128个采样点宽度的分析结果，图b为窗函数具有32个采样点宽度的分析结果。由分析结果可见．当窗函数的宽度较大．为128个采样点时，对图9-5a所示的两个正弦信号的合成信号具有较好的频域分辨率，即频域分析精度较高，但时域分辨率较差。2019/9/220当窗函数的宽度较小，为32个采样点时，对图9-5b所示的具有间隙的单一频率正弦信号来说，其分析结果具有较好的时域分辨率，即具有较好的时域分析精度，但频域精度较差。由此可见，STFT方法的窗函数宽度对分析结果至关重要．而且时域与频域的精度不可能都为最佳。2019/9/221STFT方法的精度分析由以上分析可知，窗函数宽度的选择将会直接影响时域或频域的精度。为改进时域精度可以选择一个较短的窗，但是短窗将会导致傅氏变换计算时采样点数目的减少，因此，频域中离散频率数也将减少，从而引起频域精度的降低。2019/9/222可以证明时域精度的提高将以损失频域精度为代价，而提高频域精度将以损失时域精度为代价，二者不可兼得。对STFT来说．重要的是窗函数一经选定，则时频精度在整个时频表面都是固定的，因为同一个窗函数将被用于信号中所有频率。所以STFT的窗函数对时频分析是刚性的。2019/9/223如果一个信号是由一些小的脉冲与较长的伪稳态成份所组成，则每一个信号组成部分可以有较好的时域或频域分析精度，但并不是二者兼有。对STFT分析来说．一般认为Gaussian窗函数是最佳选择。当合成信号较为简单且变换参数选取合理，STFT也可有较好的分析结果。下图为其分析结果。2019/9/2242019/9/2252019/9/2262、小波分析（1）从傅里叶变换到短时傅里叶变换如前所述，傅里叶变换可以将时域信号变换到频域中的谱。就振动分析来说，各频段的谱分量可以告诉我们信号的各个组成部分，表征着信号的不同来源和不同特征。FFT算法和现代谱理论的发展使得信号谱估计可以在很短的时间内完成，从而实现对观测信号的实时分析。频谱估计现已成为信号分析与处理领域中十分重要的特征分析工具。傅里叶变换的不足之处在于它只适用于稳态信号分析，而非稳态信号在工程领域中是广泛存在的，另外，非稳态信号很可能在一个短时瞬间发生变化．即具有很强的时间局部性，并对整个频谱产生影响，很难从信号的频谱上确认这种时域内的瞬时变化的存在及其确切的频率信息。2019/9/227也就是说其傅氏变换的结果既不能有效地提供暂态信号的频域信息．也不能揭示暂态信号的时间特性。因此．暂态信号很难用傅氏变换进行分析。由此采用了“短时傅立叶变换”来对非稳态和暂态信号进行分析。窗函数w(t)在整个信号上沿时间平移并且完成了连续重叠变换时，就可以得到与时间有关的信号频谱的描述。在时频面上构建了三维谱图。（2）从短时傅里叶变换到小波变换但短时傅立叶变换的主要缺陷是：对所有的频率都用同一个窗，使得分析的分辨率在时间-频率平面的所有局部都相同，如下图所示。如果在信号内有短时（相对于时窗）、高频成分、那么短时2019/9/228傅立叶变化就不是非常有效了。缩小时窗（选取更集中的窗函数）、缩小采样步长固然可以获得更多的信息，但是受到测不准原理的约束，在时间和频率上均有任意高分辨率是不可能的。2019/9/229在信号分析中，为能精确地得到高频信息。采样间隔应相对的小些；而为了完整地得到低频信息。采样间隔应相对地大些。换言之，重要的是需要一个“柔性”时频窗、其在较高的频率处时域窗可以自动地变窄，而在较低的频率处时域窗又可以自动地变宽。见下图所示。而某些所谓“基本小波”的积分变换(IntegralWaveletTransform)便正具有这种所需的细化功能。因此，小波分析是目前信号分析中一种十分有用的时频局部化分析方法。2019/9/230小波分析其基本思想是采用时窗宽度可调的小波函数替代短时傅立叶变换中的窗函数。也就是说小波变换在时频平面不同位置具有不同的分辨率，是一种多分辨（率）分析方法。其目的是“既要看到森林（信号的概貌），又要看到树木（信号的细节）”，因此，它又称为数学显微镜。它是将信号交织在一起的多种尺度成分分开，并能对大小不同的尺度成分采用粗细的时域或空域采样步长，从而能够不断地聚焦到对象的任意细节。这就是小波优于短时傅立叶变换的地方。（3）小波分析发展简介2019/9/231小波分析作为一门新的学科分支目前正在众多研究领域掀起研究热潮。在数学领域、它被认为是调和分析近半个世纪的工作结晶．能够压缩奇异积分算子，求解偏微分方程．构造近似惯性流形并被广泛用于逼近论；在量子力学中，一个量子场的基于正交小波基的相细胞簇的展开具有一系列良好的性质，为研究量子场结构提供了新方法，在流体力学中，它被用来模拟湍流的流动．得到湍流流动的某些分解；