高等数学课件完整

一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.},,,{21naaaA}{所具有的特征xxM有限集无限集,Ma,Ma.,,的子集是就说则必若BABxAx.BA记作数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:.,,RQQZZN.,,相等与就称集合且若BAABBA)(BA},2,1{A例如},023{2xxxC.CA则不含任何元素的集合称为空集.)(记作例如,}01,{2xRxx规定空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:.0,且是两个实数与设a).(0aU记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径.}{)(axaxaUxaaa,邻域的去心的点a.}0{)(axxaU,}{邻域的称为点数集aaxx4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.5.绝对值:00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域)(xfy如果对于每个数Dx,二、函数概念(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D定义:.)(}),(),{(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．．例如，222ayx(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.)0(tt解UtoE),2(E)0,(2,]2,0[时当ttEU2;2tE单三角脉冲信号的电压,],2(时当t),(200tEU)(2tEU即,),(时当t.0U其表达式为是一个分段函数,)(tUU),(,0],2(),(2]2,0[,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(2例2.)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf解23121301)3(xxxf212101)(xxxf122231xx]1,3[:fD故三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX1．函数的有界性:..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf2．函数的单调性:,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有3．函数的奇偶性:偶函数有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的.)()(恒成立且xflxf为周则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl2l2l23l23l)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy四、反函数五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数思考题设0x，函数值21)1(xxxf，求函数)0()(xxfy的解析表达式.思考题解答设ux1则2111uuuf,112uu故)0(.11)(2xxxxf一、填空题:1、若2251tttf,则__________)(tf,__________)1(2tf.2、若3,sin3,1)(xxxt,则)6(=_________，)3(=_________.3、不等式15x的区间表示法是_________.4、设2xy,要使),0(Ux时，)2,0(Uy,须__________.练习题二、证明xylg在),0(上的单调性.三、证明任一定义在区间)0(),(aaa上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.四、设)(xf是以2为周期的函数，且10,001,)(2xxxxf,试在),(上绘出)(xf的图形.五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.六、证明函数acxbaxy的反函数是其本身.七、求xxxxeeeexf)(的反函数，并指出其定义域.一、1、225tt,222)1(2)1(5tt；2、1,1；3、(4,6)；4.]2,0(.七、)1,1(,11lnxxy.练习题答案一、基本初等函数1.幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy2.指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey3.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(4.三角函数正弦函数xysinxysinxycosxycos余弦函数正切函数xytanxytanxycot余切函数xycot正割函数xysecxysecxycsc余割函数xycsc5.反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数xyarccosxyarccos反余弦函数xyarctanxyarctan反正切函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot反余切函数arcxycotarc二、复合函数初等函数1.复合函数,uy设,12xu21xy定义:设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.,自变量x,中间变量u,因变量y注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例1)].([,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求设解1)(),(1)(,)]([)(xxxexfx,1)(10时当x,0x或,12)(xx;20x,0x或,11)(2xx;1x,1)(20时当x,0x或,12)(xx;2x,0x或,11)(2xx;01x综上所述.2,120011,,2,)]([2122xxxxxexexfxx三、双曲函数与反双曲函数2sinhxxeex双曲正弦xycoshxysinh),,(:D奇函数.2coshxxeex双曲余弦),,(:D偶函数.1.双曲函数xey21xey21xxxxeeeexxxcoshsinhtanh双曲正切奇函数,),(:D有界函数,双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx;1sinhcosh22xx;coshsinh22sinhxxx.sinhcosh2cosh22xxx2.反双曲函数奇函数,),(:D.),(内单调增加在;sinhxy反双曲正弦ar).1ln(sinh2xxxyarsinharxy.),1[内单调增加在),1[:Dy反双曲余弦coshar).1ln(cosh2xxxyarxcosharxy.11ln21xx)1,1(:D奇函数,.)1,1(内单调增加在y反双曲正切tanharxytanharxtanharxy四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)思考题下列函数能否复合为函数)]([xgfy，若能，写出其解析式、定义域、值域．,)()1(uufy2)(xxxgu,ln)()2(uufy1sin)(xxgu思考题解答2)]([)1(xxxgfy},10|{xxDx]21,0[)(Df)2(不能．01sin)(xxg)(xg的值域与)(uf的定义域之交集是空集.._________1反三角函数统称对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，.__________)(ln]31[)(2的定义域为，则函数，的定义域为、函数xfxf一、填空题:.______32复合而成的函数为，、由函数xueyu.__________2lnsin4复合而成由、函数xy._________)0()()(___________)0)((__________)(sin______