中考数学专题4：韦达定理应用探讨

中考数学复习资料，精心整编吐血推荐,如若有用请打赏支持，感激不尽！【2017年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。韦达定理说的是：设一元二次方程2ax+bx+c=0a0有二实数根12xx，，则1212bcx+x=xx=aa，。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系。其逆命题：如果12xx，满足1212bcx+x=xx=aa，，那么12xx，是一元二次方程2ax+bx+c=0a0的两个根也成立。韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b4ac0。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。我们将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积；②求对称代数式的值；③构造一元二次方程；④求方程中待定系数的值；⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。典型例题：例1：（2016湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是【】A．－2B．2C．3D．1【答案】C。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3。故选C。例2：（2001湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1·x2的值是【】A.4.B.3.C.－4.D.－3.【答案】B。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得12c3xx===3a1。故选B。例3：（2016山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为﹣4，必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0，且x1+x2=﹣ba=﹣4。据此逐一作出判断：A．x2+2x﹣4=0：△=b2﹣4ac=20＞0，x1+x2=﹣ba=﹣2，所以本选项不合题意；B．x2﹣4x+4=0：△=b2﹣4ac=0，x1+x2=﹣ba=4，所以本选项不合题意；C．x2+4x+10=0：△=b2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；D．x2+4x﹣5=0：b2﹣4ac=36＞0，，x1+x2=﹣ba=﹣4，所以本选项符号题意。故选D。例4：（2016广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】A．－2B．0C．1D．2【答案】A。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－2。故选A。练习题：1.（2007重庆市3分）已知一元二次方程22x3x10的两根为x1、x2，则x1+x2=▲。2.（2005浙江湖州3分）已知一元二次方程2x12x70的两个根为x1、x2，则x1+x2的值是【】A．－12B．12C．－7D．73.（2011广西来宾3分）已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1·x2=▲．4.（2011湖北咸宁3分）若关于x的方程022mxx的一个根为1，则另一个根为【】A．3B．1C．1D．35.（2011云南昆明3分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1•x2的值分别是【】A、﹣72，﹣2B、﹣72，2C、72，2D、72，﹣2二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（fxy=fyx，，），则称这个代数式为完全对称式，如2211x+y+xy，等。扩展后，可以视xy中x与y对称。典型例题：例1：（2016四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为【】A．﹣3B．3C．﹣6D．6【答案】A。【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。【分析】由一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，根据一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=3，x1x2=―1，∴x12x2＋x1x22=x1x2（x1＋x2）=（－1）·3=－3。故选A。例2：（2016山东莱芜3分）已知m、n是方程x2＋22x＋1＝0的两根，则代数式m2＋n2＋3mn的值为【】A．9B．±3C．3D．5【答案】C。【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。【分析】∵m、n是方程x2＋22x＋1＝0的两根，∴m＋n=22，mn=1。∴2222m+n+3mn=m+n+mn=22+1=8+1=9=3。故选C。例3：（2016江苏南通3分）设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝▲．【答案】4。【考点】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。【分析】∵m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，∴m2＋3m－7＝0，即m2＋3m＝7；m＋n＝－3。∴m2＋4m＋n＝（m2＋3m）＋（m＋n）＝7－3＝4。例4：（2016湖北鄂州3分）设x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，且21222x(x6x3)a4，则a=▲.【答案】10。【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。【分析】∵x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，∴x22＋5x2－3=0，x1x2=－3。又∵21222x(x6x3)a4，即212222x(x5x3x)a4，即122x(0x)a4。∴122xxa4，即23a4，解得a=10。练习题：1.（2016湖南张家界3分）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则11+mn=▲．2.（2016四川泸州3分）设x1，x2是一元二次方程x2–3x–1=0的两个实数根，则221212xx4xx的值为▲3.（2016山东日照4分）已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，那么2112xxxx的值为▲.4.（2016黑龙江绥化3分）设a，b是方程x2＋x－2017=0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为▲5.（2016黑龙江大庆4分）若方程2xx10的两实根为a、b，求11ab的值．6.（2011湖北荆州、荆门3分）关于x的方程2ax(3a1)x2(a1)0有两个不相等的实根1x、2x，且有1122xxxx1a，则a的值是【】A.1B.1C.1或1D.27.（2011贵州黔东南4分）若a、b是一元二次方程2x2011x10的两根，则11ab的值为【】A、2010B、2011C、20101D、201118.（2011江苏苏州3分）已知a、b是一元二次方程2x2x10的两个实数根，则代数式abab2ab的值等于▲．9.（2011山东德州4分）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=▲．10.（2011广西玉林、防城港6分）已知：1x、2x是一元二次方程2x4x10的两个实数根．求：2121211(xx)()xx的值．三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。典型例题：例1：（2016湖北随州4分）设242a2a10b2b10，，且1－ab2≠0，则522ab+b3a+1a=▲.例2：（2016四川内江12分）如果方程20xpxq的两个根是12,xx，那么1212,.,xxpxxq请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程20,(0),xmxnn求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足221550,1550aabb,求abba的值；（3）已知a、b、c满足0,16abcabc求正数c的最小值。【答案】解：（1）设关于x的方程20,(0)xmxnn的两根为12,xx，则有：1212,.xxmxxn，且由已知所求方程的两根为1211,xx∴12121211xxmxxxxn，12121111xxxxn。∴所求方程为210mxxnn，即210(0)nxmxn。（2）∵a、b满足221550,1550aabb，∴a、b是方程21550xx的两根。∴15,5abab。∴2222221522475abababababbaababab。（3）∵0,16abcabc且0c∴16,abcabc。∴a、b是一元二次方程21600xcxcc的两个根，代简，得221600cxcxc。又∵此方程必有实数根，∴此方程的0，即224160cc，3340cc。又∵0c∴3340c。∴4c。∴正数c的最小值为4。．【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。【分析】（1）设方程20,(0)xmxnn的两根为12,xx，得出1211mxxn，12111xxn，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。（2）根据a、b满足221550,1550aabb，得出a、b是一元二次方程21550xx的两个根，由15,5abab，即可求出abba的值。（3）根据0,16abcabc，得出16,abcabc，a、b是一元二次方程22160cxcx的两个根，再根据0，即可求出c的最小值。例3：（2016四川宜宾8分）某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2017年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．（1）求到2017年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．【答案】解：（1）设到2017年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，根据题意得：3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5。（2）由（1）得，x2+3x﹣0.5=0，由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣0.5。又∵mx12﹣4m2x1x2+mx22=12即m[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣4m2x1x2=12，即m[9+1]﹣4m2（﹣0.5）=12，即m2+5m﹣6=0，解得，m=﹣6或m=1。【考点】一元二次方程的应用，一元二次方程根与系数的关系。【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：2011年、2011年和2017某市用于保障房建设资金总量=10.5亿元，把相关数值代入求得合适的解即可。（2）由（1）得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得关于m的一元二次方程，解之即得m的值。例4：