向量的乘法

第三节向量的乘法一、向量的数量积二、向量的向量积三、向量的混合积四、小结、思考题一物体在常力F作用下沿直线从点1M移动到点2M，以s表示位移，则力F所作的功为cos||||sFW(其中为F与s的夹角)实例一、两向量的数量积s1McosFF2M启示我们可以定义向量的一种乘法运算两向量作这样的运算,结果是一个数量.,Prcos||bjba,Prcos||ajab数量积也称为“点积”、“内积”.aaa=·0，有0·显然，对任何向量=0ajbbabPr||.Pr||bjaa由此得baeababajPr向量a与b的数量积为bacos||||baba(其中为a与b的夹角)定义推导数量积的坐标表达式abba如右图,由余弦定理得:22221cosbababa设,,,,,,zyxzyxbbbbaaaa则上式可写成22222222221zzyyxxzyxzyxbabababbbaaacosbazzyyxxbababa于是zzyyxxzyxzyxbabababbbaaaba,,,,如果cba,,是任意向量,λ,μ是任意实数,那么,2aaababaabbacabacba交换律数乘结合律分配律运算律:,||||cosbaba222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa两向量夹角余弦满足若向量a与b夹角,2则称a与b正交(或垂直),记作ba,,,,,,zyxzyxbbbbaaaa若则0ba.ba)(,0ba,0||a,0||b,0cos.ba)(,ba,0cos.0cos||||baba证,2,2定理若a与b有一个为0,结论显然成立不妨设0,ba,,,,,,zyxzyxbbbbaaaa若则ba0zzyyxxbababa定理的坐标形式为例1已知}4,1,1{a，}2,2,1{b，求（1）ba；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影.解ba)1(2)4()2(111.9222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa,21ajbbabPr||)3(.3||Prbbaajb.43例2已知点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求∠AMB．MBMA解∠AMB可以看成向量与的夹角,而MA=(2-1,2-1,1-1)=(1,1,0)MB=(2-1,1-1,2-1)=(1,0,1)故MA·MB=1×1+1×0+0×1=1MAMB,20112222101222带入公式21||||cosMBMAMBMAbaba3AMB例3设),3,2,1(,iRbaii证明不等式213122131231iiiiiiibaba证设向量),,(321aaaa，),,(321bbbb，由于,cosbaba故baba用ba,的坐标代入上式即得所要求证的不等式。例4设流体流过平面S上一个面积为A的区域，流体在该区域上各点处的流速为常向量为，又设是垂直于S的单位向量，试用数量积表示单位时间内经过且流向该区域所指一侧的流体的质量（已知流体的密度为常数）设O为一根杠杆L的支点，有一力F作用于这杠杆上P点处．力F与OP的夹角为，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模||||||FOQMsin||||FOPM的方向垂直于OP与F所决定的平面,指向符合右手系.实例二、两向量的向量积LFPQO向量a与b的向量积为bacsin||||||bac(其中为a与b的夹角)定义c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.关于向量积的说明：.0aa向量积也称为“叉积”、“外积”.000aa.abba(反交换律),并规定(ⅰ)(ⅱ)向量积符合下列运算规律：分配律.)(cbcacba).()()(baba如果cba,,是任意向量,λ,μ是任意实数,那么结合律例5设是两个向量,证明:ba,a∥b0ba)(,0ba,0||a,0||b,0sin)(0sin.0sin||||||bababa//ba//或0证设均为非零向量(否则命题不证自明)ba,或0,kajaiaazyxkbjbibbzyx设ba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx,kji,0kkjjii,jik,ikj,kij.jki,ijkkbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的分解表达式:向量积还可用行列式表示zyxzyxbbbaaakjibakbbaajbbaaibbaabayxyxxzxzzyzy即||ba表示以a和b为邻边的平行四边形的面积.abbac两向量的向量积的几何意义:(ⅰ)(ⅱ)absinbhba与一切既平行于a又平行于b的平面垂直例6设平面Π过空间三点A(1,0,0)、B(3,1,-1)、C(2,-1,2),求一个垂直于平面Π的向量n解2,1,102,01,121,1,201,01,13ACABABAC与显然不共线且都在面Π内故可取kjikjiACABn35211112例7在顶点为)2,1,1(A、)2,6,5(B和)1,3,1(C的三角形中，求AC边上的高BD.ABC解D}3,4,0{AC}0,5,4{AB三角形ABC的面积为||21ABACS22216121521,225||AC,5)3(422||21BDS||AC||521225BD.5||BD例8设刚体以等角速率ω绕l轴旋转，计算刚体上一点M的线速率。v解刚体旋转时,我们可用转动轴l上的向量表示角速度,它的大小，它的方向按右手法则定出,如右图.设点M到l轴的距离为a,任取l轴上一点记为O，并记,若用θ表示与的夹角,则有OMrrsinraorθωMva从物理中知道,线速率与角速率有如下关系：vrvrav,sin又符合右手法则,因此得vr,,rv定义设已知三个向量a、b、c，数量cba)(称为这三个向量的混合积，记为][cba.),,(zyxaaaa),,(zyxbbbb设),,(zyxcccc三、向量的混合积下面推导混合积的坐标表达式因为yxyxxzxzzyzybbaabbaabbaaba,,][cbacba)(zyxzyxzyxcccbbbaaa所以zyxyxyxzxzxzyzycbbaacbbaacbbaacba)(即显然bacacbcba（1）向量混合积的几何意义：向量的混合积][cbacba)(是这样的一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积.acbba关于混合积的说明：（2）三向量a、b、c共面.0][cba0zyxzyxzyxcccbbbaaa例9已知空间内四点A(1,1,1),B(3,4,4),C(3,5,5)和D(2,4,7),求四面体ABCD的体积.解由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB、AC、AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.][61ADACABV故1661ABCDV而AB=(2,3,3),AC=(2,4,4),AD=(1,3,6),于是6631442332ADACAB例10问点A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3)和D(10,15,17)四点是否在同一平面上？016149221543ADACAB解AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),而因此AB、AC、AD共面，即A、B、C、D在同一个平面上向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）四、小结思考题已知向量0a，0b，证明2222)(||||||bababa.思考题解答)(sin||||||,2222bababa)](cos1[||||,222baba22||||ba)(cos||||,222baba22||||ba.)(2ba一、填空题：1、已知a=3，b=26，ba=72,则ba=_________；2、已知（ba,）=32，且a=1，b=2，则2)(ba=______________；3、ba的几何意义是以ba,为其邻边的_________；4、三向量cba,,的混合积[cba]的几何意义是______；5、两向量的的内积为零的充分必要条件是至少其中有一个向量为________，或它们互相________；6、两向量的外积为零的充分必要条件是至少其中有一个向量为____________，或它们互相______；练习题7、设kjia23，kjib2,则ba=____，ba=_______,ba3)2(=_______,ba2=_________，),cos(ba=__________；8、设a=kji32,kjib3和,2jic则bcacba)()(=_____________,)()(cbba_____________,cba)(=_________________.二、已知cba,,为单位向量，且满足0cba，计算accbba.三、设质量为100千克的物体从点)8,1,3(1M沿直线移动到点)2,4,1(2M计算重力所作的功（长度单位为米，重力方向为Z轴负方向）.四、设4,1,2,2,5,3ba，问与怎样的关系能使行zba与轴垂直.五、应用向量证明：1、三角形的余弦定理；2、直径所对的圆周角是直角.六、已知cba,,两两垂直，且cbascba求,3,2,1的长度与它和cba,,的夹角.七、计算以向量212eep和212eeq为边的三角形的面积，其中1e和2e是相互垂直的单位向量.练习题答案一、1、30；2、3；3、平行四边形的面积；4、以cba,,为邻边的平行六面体的体积；5、零向量,垂直；6、零向量,平行；7、3,2123,14210,18