高等数学电子版

1第一章极限与连续第一节数列的极限一、数列极限的概念按照某一法则，对于每一个Nn，对应一个确定的实数nx，将这些实数按下标n从小到大排列，得到一个序列,,,,21nxxx称为数列，简记为数列}{nx，nx称为数列的一般项。例如：,1,,43,32,21nn,2,,8,4,2n,21,,81,41,21n,)1(,,1,1,11n,)1(,,56,43,34,21,21nnn一般项分别为1nn，n2，n21，1)1(n，nnn1)1(数列}{nx可看成自变量取正整数n的函数，即)(nfxn，Nn设数列nnxnn1)1(，来说明数列}{nx以1为极限。为使100111)1(|1|1nnnxnn，只需要100n，即从101项以后各项都满足1001|1|nx，为使100000111)1(|1|1nnnxnn，只需要100000n，即从100001项以后各项都满足1000001|1|nx，为使nnnxnn11)1(|1|1（是任意给定的小正数），只需要1n，即当1n以后，各项都满足|1|nx。令]1[N，当Nn时，1n，因此有|1|nx，即任意给定小正数，总存在正整数]1[N，当Nn时的一切nx都满足|1|nx，则定义：设}{nx为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当Nn时的一切nx都满足不等式||axn则说常数a是数列}{nx的极限，或者说数列}{nx收敛于a，记为axnnlim或axn)(n如果不存在这样的常数a，则说数列}{nx没有极限，或者说数列}{nx发散。2数列}{nx以a为极限的几何意义：任意给定的正数，总存在正整数N，当Nn时的一切nx，有||axn即axan或),(aaxn也就是当Nn的一切nx都落在a的邻域),(aU内，在),(aU的外边至多有N项（图）1xNxa1Nxa2Nxa例1证明数列,1,,43,32,21nn的极限为1。证明：①分析：为使11||nnaxn，只需要11n，或11n，即11n②证明：任意给定小正数，取]11[N，当Nn时的一切nx满足1111|1|nnnxn因此，11limnnn例2已知2)1()1(nxnn，证明数列}{nx的极限是0。分析：为使0)1()1(||2naxnn，只需要2)1(1n，由于11)1(1)1(122nnn，故11n时，即11n，或11n时2)1(1n。证明：任意给定小正数，取]11[N，当Nn时的一切nx满足11)1(10)1()1(|0|2nnnxnn因此，0)1()1(lim2nnn例3设1||q，证明等比数列,,,,,112nqqq的极限是0。证明：任给0（设0），由于11|||0||0|nnnqqx为使|0|nx，只需11|||0|nnqq，解得ln||ln)1(qn，或||lnln1qn。故取]||lnln1[qN，当Nn时，有11|||0||0|nnnqqx因此，0lim1nnq。二、收敛数列的性质3定理1（极限的唯一性）如果数列}{nx收敛，则它的极限是唯一的。证明：反证法：如果axn，bxn，不妨设ba。取2ab。由于axn，存在1N，当1Nn时，2||abaxn；又由于bxn，存在2N，当2Nn时，2||abbxn。取},max{21NNN，则当Nn时，2||abaxn，2||abbxn，由2||abaxn得2baxn，由2||abbxn得2baxn，矛盾，故必须ba。例4证明数列1)1(nnx（,2,1n）是发散的。对于数列}{nx，如果存在正数M，使得对于一切nx，有Mxn||，则说数列}{nx是有界的；否则，则说数列}{nx是无界的。定理2（收敛数列的有界性）如果数列}{nx有极限，则数列}{nx一定有界。证明：注意到||||||||aaxaaxxnnn，可证明定理2。定理3（收敛数列的保号性）如果axnnlim，且0a（或0a），则存在正整数N，当Nn时的一切nx，有0nx（或0nx）。证明：取2a即可证明定理。推论如果数列}{nx从某项起有0nx（或0nx），且axnnlim，则0a（或0a）。对于数列}{nx，从中抽取1nx，2nx，，knx，称为数列}{nx的一个子数列。定理4如果数列}{nx收敛于a，则数列}{nx的任何子数列都收敛，且收敛于a。第二节函数的极限一、函数极限的定义1．自变量趋向于无穷大时函数的极限数列是特殊的函数，如1)(nnnfxn，,2,1n，且n时，1nx，考虑函数1)(xxxfy，是否有x时，1)(xf？任意给定小正数，为使|11||1)(|xxxf，只要|11|x，即1|1|x。由于1|||1|xx，即11||x即可。任给0，存在正数11X，当Xx||时，对应的函数值)(xf满足|11||1)(|xxxf即当x时，)(xf以1为极限。定义1设函数)(xf当||x大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论4它多么小），总存在正数X，使得x满足不等式Xx||时，对应函数值)(xf满足|)(|Axf则说常数A为函数)(xf当x时的极限，记为Axfx)(lim或Axf)(（当x）Axfx)(lim：0，0X，当Xx||时，|)(|Axf。例1证明03limxx。分析：为使|03|x，只要|3|x，即||3x，或3||x。证明：0，3X，当Xx||时，||3|03|xx，因此03limxx。Axfx)(lim的几何解释：0，0X，当Xx||时，|)(|Axf即Axf)(或AxfA)(如图所示：如果0，0X，当Xx时，|)(|Axf，则说x时，Axf)(，记为Axfx)(lim；如果0，0X，当Xx时，|)(|Axf，则说x时，Axf)(，记为Axfx)(lim显然，Axfx)(limAxfx)(lim，Axfx)(lim例如：xxxf||)(，有1)(limxfx，1)(limxfx。2．自变量趋向于有限值时函数的极限例1，12)(xxf，2x时，5)(xf；例2：11)(2xxxf，定义域为1x，但1x时，2)(xf；任意给定小正数，为使|42||512||)(|xxAxf，只要|2|2x，即2|2|x即可。任意给定小正数，为使|21)1)(1(||211||)(|2xxxxxAxf只要|1|x，即|1|0x即可。定义2设函数)(xf在点0x的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得x满足不等式||00xx时，对应函数值)(xf满足|)(|Axf5则说常数A为函数)(xf当0xx时的极限，记为Axfxx)(lim0或Axf)(（当0xx）Axfxx)(lim0：0，0，当||00xx时，|)(|Axf。例2证明8)13(lim3xx。分析：为使|93||8)13(|xx，只要|3|3x，即3|3|x。证明：0，取3，当|3|0x时，对应函数值满足|3|3|8)13(||8)(|xxxf因此，8)13(lim3xx。Axfxx)(lim0的几何解释：0，0，当||00xx时，|)(|Axf即Axf)(或AxfA)(即),(00xUx时，),()(AUxf如图所示：如果0，0，当0xx时，|)(|Axf，则说x从0x的右侧趋向于0x（记为0xx）时，Axf)(，记为Axfxx)(lim0，或Axf)(0；如果0，0，当xx0时，|)(|Axf，则说x从0x的左侧趋向于0x（记为0xx）时，Axf)(，记为Axfxx)(lim0，或Axf)(0；显然，Axfxx)(lim0Axfxx)(lim0，Axfxx)(lim0例3设函数0,10,00,1)(xxxxxxf当0x时，)(xf的极限不存在。例4证明ccxx0lim例5证明00limxxxx例6证明424lim22xxx例7证明0sinlimxxx二、函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）如果)(lim0xfxx存在，则极限是唯一的。定理2（函数极限的局部有界性）如果Axfxx)(lim0，则存在正数M和，使得当||00xx时，有Mxf|)(|。证明：|||||)(||)(||)(|AAAxfAAxfxf6定理3（函数极限的局部保号性）如果Axfxx)(lim0，且0A（或0A），则存在常数0，使得当||00xx时，有0)(xf（或0)(xf）。推论如果在0x的某去心邻域),(00xU内，0)(xf（或0)(xf），且Axfxx)(lim0，则0A（或0A）。定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限Axfxx)(lim0，}{nx为函数)(xf定义域内一收敛0x的数列，且0xxn（Nn），则对应的函数值数列)}({nxf也收敛，且Axfxfxxnn)(lim)(lim0。证明：由于Axfxx)(lim0，则0，0，当||00xx时，有|)(|Axf；又由于0limxxnn，故对于上面的0，N，当Nn时，有||0xxn，当然有||00xxn；因此，0，N，当Nn时，有||00xxn，故|)(|Axfn，即Axfnn)(lim。第三节无穷小与无穷大一、无穷小定义1如果函数)(xf当0xx（或x）时的极限为零，则函数)(xf称为当0xx（或x）时的无穷小。例如：0)1(lim1xn，因此)1(x为1x时的无穷小；01limxn，因此x1为x时的无穷小。)(xf为0xx时的无穷小0)(lim0xfxn0，0，当||00xx时，|)(|xf；)(xf为x时的无穷小0)(limxfn0，0X，当Xx||时，|)(|xf；定理1在自变量的同一变化过程0xx（或x）中，函数)(xf以A为极限的充分必要条件是Axf)(，其中是无穷小。证明：必要性：设Axfxn)(lim0，则0，0，当||00xx时，|)(|Axf。令Axf)(，则是0xx时的无穷小，且Axf)(。充分性：设Axf)(，其中A为常数，是0xx时的无穷小。于是，0，0，当||00xx时，||，即|)(|Ax