刚体力学基础

刚体力学基础刚体力学基础一、刚体模型①刚体和质点一样是一种理想的力学模型②刚体可以看成是由无数质点构成的质点组刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体§1刚体运动的基本概念二、刚体的平动bca物物体体作作平平动动bcabcaabcabcbcaabcabcabc刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视为质点各点的运动轨迹相同平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方向始终不变转动：刚体的各个质点都绕同一直线(转动轴)作圆周运动定轴转动:转轴固定不动的转动转动轴：刚体转动围绕的那条直线v三、刚体的转动转轴可以是固定的或变化的进动滚动定轴转动刚体的一般运动=平动+转动（1）描述刚体转动的物理量是：角位移、角速度、角加速度等。转动平面0ω（2）运动学中讲过的角位移、角速度、角加速度等概念，以及有关公式都可适用于刚体的定轴转动。四、描述刚体转动的物理量任选刚体上的任意点P点为参考点参考方向转动平面xzvP(1)角坐标，角位移刚体沿逆时针方向转动时，和为正值；刚体沿顺时针方向转动时，和为负值。角坐标、角位移有正负之分，规定：刚体对转轴的(瞬时)角速度(2)角速度转动平面0x参考方向ωPvdtd刚体定轴转动时，角速度可看成是只有正、负的代数量。其正负可由右手螺旋法则决定。右手螺旋法则：拇指向上，若四指弯曲方向与刚体的转动方向一致（即刚体沿逆时针转动）时，则角速度为正，反之为负。ωω刚体转动的角速度是矢量转动平面0x参考方向ωPv方向：右手螺旋法则，即四指弯曲方向与刚体的转动方向一致，拇指所指的方向即是。k22dtddtd刚体对转轴的(瞬时)角加速度(3)角加速度0，角加速度方向与角坐标正方向相同，刚体会加快转动；0，角加速度方向与角坐标正方向相反，刚体转动会减慢。刚体定轴转动时，角加速度可看成是只有正、负的代数量。转动平面0x参考方向ωPvdtd转动平面0x参考方向ωPv当刚体转动加快时，角加速度方向与角速度方向相同；当刚体转动减慢时，二者方向相反。方向：的方向与相同刚体转动的角加速度是矢量四、角量与线量的关系rvratvran2转动平面0x参考方向ωPvr刚体内各个质点的角位移、角速度、角加速度相同，但由于各个质点离转轴的距离和方向各不相同，所以刚体内各个质点的位移、速度、加速度(线量)各不相同。z在刚体上取一质元Pi一、刚体的转动动能im221iikivmE2221iirmiriP则质点Pi的动能为：对刚体上所有质点的动能求和：2221iikrmEiiirm222§2转动动能转动惯量则刚体的转动动能定义：iiirmJ2----对z轴的转动惯量222212JrmEiiikzimiriP质点221mvEk刚体221JEkvJmJ是描述刚体在转动中惯性大小量度的物理量二、转动惯量JiiirmJ2对刚体：dmrJ2对分立的质点系：线分布，为线密度面分布，为面密度体分布，为体密度dVr2dsr2dlr2质量是连续分布zdmrJ（2）转动惯量J的大小决定于刚体的质量：同形状的刚体，ρ(λ,σ)越大，J就越大质量的分布：质量相同，dm分布在r越大的地方，则J越大刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的J（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小（3）转轴相同的刚体系统的总转动惯量等于各刚体转动惯量的代数和nJJJJ21dmrJ2讨论00Lω转动惯量的计算：[例1]求质量为m，长度为L的均质细棒的转动惯量。（转轴oo’通过棒的一端并与棒垂直）解：dxdm以转轴为坐标原点，在距转轴x处，任取一质量元dm，其长度为dxdxLmdmxdJ2dxxLm2dJJLdxxLm02231mLxdxdm解：dxdm以转轴为坐标原点，在距转轴x处，任取一质量元dm，其长度为dxdxLmdmxdJ2dxxLm2dJJC2121mL[例2]求质量为m，长度为L的均质细棒的转动惯量。（转轴oo/通过棒的中心并与棒垂直）L00/ωxdmdx222LLdxxLm00ωLm,00/ωLm,231mLJ均质细棒的转动惯量2121mLJC平行轴定理2mdJJC[例3]求均质细圆环绕通过中心并与其圆面垂直的轴的转动惯量。ωRm00dl,dmdmRdJ2dmRdJJm022mRdldm解：在园环上任取一质量元dm，其长度为dldlRm2mdmR02[例4]求质量为m，半径为R的均质圆盘绕通过中心并与其圆面垂直的轴的转动惯量。ωdrrRmdrrRmdJJR0322dsdm解：在圆盘上任取一半径为r、宽度为dr的圆环，则这一质量元dm为rdr22RmdmrdJ2drRmr232221mR常见刚体的转动惯量J使物体转动，必须给定一个作用力，另外考虑转动与力的作用点以及作用力的方向有关，因此在研究物体转动中引入力矩这一物理量。一、力矩zOrdPF力臂：rsin=d表示转轴到力作用线的垂直距离。力F对转轴的力矩:力的大小F与力臂d的乘积sinFrFdM（1）若刚体所受力在转动平面内F§3刚体定轴转动定律FF在定轴转动中，只有起作用FF对转轴的力矩rPF//FFzOdsinrFMzdF（2）若刚体所受力不在转动平面内F平行于转轴分量不能使刚体发生转动；//F对于刚体的定轴转动，力矩Mz也可看成是代数量。即：从z轴正端向负端看，若力F使物体沿逆时针方向转动，则力矩Mz为正，反之为Mz为负。rPFzOdFrM方向：满足右手螺旋法则力矩刚体同时受几个外力作用时的合力矩：对于定轴转动，力矩的方向沿转轴方向，但只有两种可能，则可用正负表示单位：牛顿·米(N·m)FMr即：力矩与坐标轴同向时为正，反向时为负结论：合力矩的值等于这几个力各自的力矩的代数和ω00iF内iriPimiFii二、刚体定轴转动定律对Pi：iiiiamFF内两边同乘以ri2iiiitiitrmrFrF内切向：itiititamFF内iirm对整个刚体求和iiiiiitiiitrmrFrF2内和的法向分力作用线通过转轴，其力矩为零iFiF内iiirmM2JdtdJ----刚体的定轴转动定律可以证明：内力中的每一对作用与反作用力的力矩相加为零，即内力矩之和为零iiitrFMiiirm2iiiiiitiiitrmrFrF2内0iiitrF内合外力矩刚体的转动惯量iiirmJ2ω00iF内iriiPimiFiJM刚体定轴转动定律结论：刚体所受到的对某一定轴的合外力矩等于刚体对该轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。讨论：（2）刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢量关系式JM力矩是使刚体转动产生角加速度的原因。（3）刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如同质点力学中的amF（1）公式中的M是作用在刚体的合外力矩；三、刚体定轴转动定律的应用（1）转动定律是力矩对定轴转动刚体的瞬时作用定律，要注意其瞬时性；（5）注意利用线量与角量的关系。（3）如题目中有转动的物体、有平动的物体，则把转动的物体当刚体处理，把平动的物体当质点处理；（4）除了受力分析，还要进行力矩分析。在进行受力、力矩分析时，对刚体要找准力的作用点，以便求力矩；（2）转动定律中的合外力矩M、转动惯量J和角加速度β三个物理量都是对同一转轴而言的；C2TF1TFgmNCF[例1]物体A、B的质量分别为m1和m2，用一轻绳相连，绳子跨过质量为m、半径为R的定滑轮C（可视为均质圆盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的张力FT1和FT2。ABCBNFkFgm22TFAgm11TFxyy的力矩：受力分析力矩分析RFMT111TF的力矩：RFMT222TFa解：建立如图坐标系1111amFgmT02gmFNNkFF222amFFkTM21aaaR221mRJBNFkFgm22TFxyAgm11TFy对质点A和B列牛顿第二定律方程对A物体：对B物体：对刚体C列转动定律方程RFRFTT21J均质圆盘C2TF1TFABCa解得gmmmmma22121gmmmmmmFT1212122)1(gmmmmmmFT2211222)1(ABC[例2]在图示的装置中求：T1，T2，a，β（滑轮可视作均质圆盘）。mmm12rTT121TT2+βmgm1T11mm2T22gm1TT2βJrr=Tgmm22=2a=1T11mmga=J22mr1a=rβgmm21TT1122gmmaaa2mmmmmg1212=++())()mmmmg22211=++β(()mrTmg21122=22+()mm1mm++mg122=2T)(m1mm+++mm222mrdFdAzOFrPrdddsF)90cos(0rdFsinMdcosrdF一、力矩的功刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，则力矩对刚体作了功。§4力矩的功动能定理元功：力矩对质点(或刚体)所作的元功等于力矩和角位移的乘积MddA其中iiMM外力在定轴上对刚体的合外力矩当力矩与角速度同号(或同方向)时，力矩的功为正值；当力矩与角速度异号(或反方向)时，力矩的功为负值。功的正负：力矩的功率dtdAP21MdA力矩的功zOFrPrddMdtMd二、刚体定轴转动的动能定理dtdJMMddAdJdtdddJddJ转动定律JM设在合外力矩M的作用下221Jd作用在绕定轴转动的刚体上的合外力矩的元功等于该刚体转动动能的微分。------刚体定轴转动的动能定理的微分形式21MdA21222121JJ21221Jd当绕定轴转动的刚体在外力作用下，角速度从t1时刻ω1改变为t2时刻的ω2时，合外力矩对刚体所作的功为KKKEEEJJA1221222121刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。221JddA动能定理[例1]一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。θLL22mg求：摆到如图位置时的ω解：=M=WdmgLcos210=Lmgθ12sinMddWθLmgcos210212JWLgsin3[例２]质量为m1、半径为r的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘面的固定光滑轴转动，饶过盘的边缘挂有质量为m2的物体（如图所示），一切摩擦忽略不计，将m2静止释放，下降h米用了时间t秒。１、在Ｊ已知的情况下，求m2下降h时的速度２、求m1的转动惯量。m１m2r解：１、受力如图所示。0v21)(:2222mhTgmm021:201JMdmTRM2121RmJRvRh21222vmmghm２、RaathamTgmJTR22122hhgtRm2)2(J222三、含有刚体的力学系统的机械能刚体的机械能（1）质点的平动动能，质点的重力势能，弹性势能；cpkmghJ