05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律

4-3刚体的角动量定理角动量守恒定律研究质点绕定点的圆周运动，用角动量描述比较方便Lmrv当刚体绕定轴转动时，刚体上各质点都在围绕转轴做半径不同的圆周运动转动的刚体具有角动量如何表示刚体绕定轴转动的角动量呢？刚体对转轴Oz的转动惯量J2()iimr2ziiLmrzLJ刚体对定轴的角动量一定轴转动刚体的角动量在定轴转动的刚体上，每个质元对转轴都有确定的角动量2iiiiiLmrmrvzOivirim——描写刚体绕定轴转动状态的物理量如何改变刚体的角动量？整个刚体对转轴的角动量等于刚体上所有质元对转轴角动量的和合外力矩的冲量矩刚体角动量的增量zOkFrd()dJMt刚体对定轴的转动惯量不变ddMJJt根据转动定律tLdd作用在刚体上的合外力对转轴的力矩等于刚体对转轴的角动量变化率二定轴转动刚体的角动量定理ddMtL21tt21LL两边做积分21LL1221dLLtMtt作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩在某段时间内的冲量距等于刚体在同一时间内角动量的增量——反映了力矩对时间的累积效果定轴转动刚体角动量定理的积分形式定轴转动刚体的角动量定理ddLMt——力矩是改变刚体角动量的原因1221dLLtMtt三刚体的角动量守恒定律刚体所受外力矩为零LJ常量当作用在定轴转动刚体上的合外力矩为零时，刚体的角动量保持不变0M根据由于刚体绕定轴转动的转动惯量为一常量，所以当刚体所受合外力矩为零时，刚体转动的角速度不变地球近似为一刚体，所以地球的自转周期基本恒定，但活跃的地壳运动可以改变地球的转动惯量，从而影响地球的自转周期讨论：对绕定轴转动的可变形物体而言，在不同状态下物体对转轴的转动惯量可能不同，但是如果它所受合外力矩为零，那么它的角动量也将保持不变花样滑冰运动员利用四肢的伸缩改变自身的转动惯量，可以改变绕自身竖直轴的角速度合外力矩为零不仅是绕定轴转动刚体角动量守恒的条件，也是任何质点系对角动量守恒的条件对于由几个物体组成的系统，如果它们都围绕同一定轴转动，那么当该系统所受合外力矩为零时，系统对该定轴的合角动量不变0M外如果该系统原来是静止的，则总角动量为零。当通过内力使系统的一部分转动时，另一部分必会沿反方向转动，而系统的总角动量仍将保持为零iiJ常量当直升机上方的旋翼转动时，它必然引起机身反向打转，以维持总角动量为零，而直升机侧向的尾桨可以提供一个附加的水平力，保证机身不打转双旋翼直升机不需要尾桨，它通过一对转向相反的螺旋桨，保持系统的总角动量仍然为零并轴双旋翼直升机通过在同轴心的内外两轴上安装一对对转的螺旋桨来防止机身反向打转鱼雷在其尾部也装有对转螺旋桨，其目的也是为了消除单螺旋桨造成鱼雷自身的反转问题腿臂的动作正确、协调配合，对加大步长、提高步频都有一定作用，因而对提高跑步速度有明显影响当一侧的腿向前跨出时，另一侧的臂必须同时向前摆出，这样躯干的上端（肩）和下端（髋）彼此向相反方向扭转，而躯干的中段和头部则大体保持在原来位置上，才可以保证整个身体对于竖直轴的角动量保持为零为什么同手同脚地走路或跑步会使人觉得别扭呢？角动量守恒定律并不包含在动量守恒或能量守恒定律中，所以它是自然界一个独立的基本定律，不仅适用于经典力学领域，也适用于微观和高速领域例1一长为l、质量为M的均质棒，放在水平光滑桌面上，棒可绕通过其一端的固定光滑轴O转动。初始时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端并留在棒中，如果子弹的质量为m，速率为v0，求棒开始和子弹一起转动时角速度lm0vM取棒和子弹为一系统由于转轴O处有冲力作用，所以系统的动量不守恒！由于O处的冲力通过转轴，所以系统受外力矩为零，系统的角动量守恒lm0vM系统的角动量守恒0mlJv棒的转动惯量子弹的转动惯量?J2ml0()3mMmlv213Ml例1一质量为M，长为l的均质细棒，可绕过其顶端的水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损失3/4，求子弹穿出后棒的角速度OlmM0v0/4v取子弹和细杆作为系统，在子弹射入棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与细杆之间的作用力为内力，转轴上的作用力和重力不产生力矩，系统所受外力矩为零，系统角动量守恒0mlv014mlvMlm490v213Ml例2一长为l的轻质细杆，两端分别固定质量为m和2m的小球，杆可绕水平光滑轴O转动，转轴O距杆的两端分别为l/3和2l/3，今有一质量为m点小球以水平速度v0与杆下端小球m做对心碰撞后以v0/2的速率返回，求碰撞后细杆获得的角速度m2m0vO13l23lm02v两端带小球的轻质细杆对转轴的转动惯量2221()2()33Jmlml223mlm2m0vO13l23lm02v整个系统受外力矩为零，所以角动量守恒023mlv223ml032lv细杆获得的角速度0223mlv例3一长度为L、质量为m的均质细棒的一端悬于O点，并可绕过O点的水平轴自由转动。在O点又有一轻绳，悬挂一质量也为m的小球。当小球偏离竖直方向某一角度由静止开始释放，并与静止的细杆发生弹性碰撞，问当绳为多长时，碰后小球刚好静止OLmm213mLOLmm以单摆和细杆作为系统，在碰撞过程系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒Jlmv弹性碰撞，机械能守恒222121Jmv设小球绳长为l，根据角动量守恒Ll33l例4一质量为M、半径为R的圆形水平转台可绕通过其中心的光滑竖直轴转动。质量为m的人站在转台上距转轴为R/2处，设开始时转台与人相对于地面以角速度0匀速转动，求此人走到转台边缘时，人和转台一起转动的角速度mROM0取人与转台为一系统，由于转台和人的重力以及转轴对转台的支承力都平行于转轴，这些力对转轴的力矩为零，所以该系统对转轴的角动量守恒2201[()]22RMRm221[]2MRmR0224MmMmmROM0mROM例5一质量为M、半径为R的圆形水平转台可绕通过其中心的光滑竖直轴转动。质量为m的人站在转台边缘。开始时人和转台都相对于地面静止。求当人沿转台边缘走完一周时，转台对地面转过的角度取人和转台作为系统，在人走动过程中，人和转台之间的作用力为内力，系统所受外力方向都与转轴平行，对轴不产生力矩，系统角动量守恒2212102MRmR222112mRMRmROMtMRtmRdd21dd22122212d21dMRmR210202d21dMRmR2121Mm人在转台上走一周，对台走过2212对地走过的角度mMm242一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度A.增大B.不变C.减小D.不能确定√mvmvO例6AB两飞轮的轴杆在同一直线上，设两轮的转动惯量分别为JA＝10kg·m2和JB＝20kg·m2。开始时A轮转速为600rev/min，B轮静止。当A和B啮合时，B轮加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止。设轴光滑，求：1)两轮啮合后的转速；2)两轮各自所受的冲量矩AABAAB选择A、B两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，系统角动量守恒)(BABBAAJJJJBAAAJJJrev/min200A轮受的冲量矩)(d21AAttAJtMsmN104.192BttBJtM21dsmN104.192B轮受的冲量矩AAB1O2O1R2R1m2m20101O2O1R2R12ff两圆柱A、B分别绕自身的中心轴O1和O2转动，如果开始时两圆柱分别以角速度10、20同向旋转，然后缓缓使它们相互接触，当接触处无相对滑动时，两圆柱各自的角速度分别为多少？取两圆柱为一系统，该系统受到的合外力矩为零，而两圆柱相互接触处的摩擦力是内力矩，那么该系统是否角动量守恒呢？刚体的定轴转动速度质点的运动trddv2ttadddd2rv加速度质量m转动惯量mrrmJiid22tdd角速度角加速度22ddddtt力矩dFMz力FamFJM运动规律转动定律刚体的定轴转动动量质点的运动vmp时间累积JL角动量定理1221dLLtMtt动量定理1221dpptFtt0外F恒量imvi动量守恒定律0M恒量iL角动量守恒定律角动量刚体的定轴转动质点的运动空间累积力的功动能定理机械能守恒定律rFWd力矩的功dMW动能221vmEK转动动能221JEk21222121vvmmW动能定理21222121JJWkpEE恒量0WW外非保内