大学物理静电场(四)

1关于的计算的几个问题E1.矢量积分在具体运算时必须化为标量积分，再进行积分。计算原则：点电荷的电场0201dd4qErr020dd4qEErr叠加原理zzyyxxEEEEEEdddkEjEiEEzyx错误的写法：EEd再求yxEE2例已知带电直线段Lld，求P点的ExyOPdx-L/2EddxL/2xqddl2201dd4()xEdxlP点的EEdcosddsinddEEEEyx由对称性可知：0xE2222220)(4dcosddLLyyxddxdxEEEElxyOdlEdd例已知带电圆环Rl，求O点的ElldddRlq20dd4RERlEEdxEdyEd32.认准积分变量在求的积分式中，会出现二类不同的变量：E源电荷所占据空间的位置变量源电荷激发电场中场点的位置变量例xOPdx’lxx’源变量x’—积分变量场变量x201dd4()xExxlEd方向一致)11(4)(4dd0020xlxxxxEElll)(xEE是x的函数，上式是在带电线延长线上任一点的E4sPxrOrd例带孔R的无限大面轴线上任一点P的E23220)(4d2dxrσxrrE区分：源变量r——积分变量场变量x——表示P点的位置Ed方向一致)(2)(222023220xExRxxrxrdrER即ss53.利用数学工具，结合物理模型，准确写出计算公式*点电荷、线电荷、面电荷是物理学中抽象出来的理想化模型，而点、线、面是几何概念，点无大小、线无粗细、面无厚度。在物理学中，可以把带电体看成是点、线、面电荷的集合。带电线由点电荷组成---------每个点电荷的dq=?带电体由点电荷组成---------每个点电荷的dq=?带电面由线电荷组成------------每条线的l=?如：具体情况具体分析（1）一个带电线段看成是点电荷的集合若带电线是直线段xOdxxdq=ldx物理学上把dq看成是点电荷数学上，dq不是一个点，而是一小段（dx）带电线6xyOdlEdd若带电线是一带电圆弧物理学上把dq看成是点电荷数学上，dq不是一个点，而是一小段带电圆弧lldddRlq（2）一个带电面看成是点电荷的集合sxrrdydsrrqddd物理学上把dq看成是点电荷数学上，dq是一个扇形的一部分7（3）一个带电面(s)看成是带电线(l)的集合l?带电平面是由带电直线组成xdxsdl物理上：带电线数学上：宽为dx的细长带电矩形条xlxllqddddddssl带电曲面是由带电直线组成（如:无限长半圆柱）sl物理上：带电线数学上：宽为ds的细长带电弧面dddddddddqlslRRlllssls若已知s，则8lllldddRRsR又如带电圆盘是带电圆环的集合，带电圆锥面、带电圆柱面、带电半球面也都可看成是带电圆环的集合，但每个圆环dq不同srrdR带电圆盘由带电圆环组成srrqd2dll/若已知l，则9lldRLxrOdxx带电圆锥面srrqd2dsxrqd2dslrqd2dxROxdxH带电圆柱面d2dqRxssxrRddlO带电半球面ssdsin2d2dRRlrq以上各例，物理上都称为带电线圆环，但数学上由于带电面具体形状不同，所以，dq的表示式均不同。10（4）一个带电体(r),由许多带电面(s)组成s?dsrdx取一小面元ds，厚度dxrxsqdddxsqdddrs几何的面没有厚度，物理的带电面有厚度dx如：带电球体4.利用高斯定理求时，对电荷不均匀但对称分布的电场ErCrrCr——带电球壳的集合带电柱体rCr——带电柱壳的集合11如：一带电球体rCr利用高斯定理求rR处P点的EPrrrrd如图取一高斯球面qrE0214200202C2d4CCd4d4rrrrrrrrqrrrr0C2E——是常量12例：一无限长带电柱体rCr利用高斯定理求rR处P点的EhrrPrrdqrhE0123020C32dC2dC2rhrrhrrhrqrr023CrE（求闭合面内电荷时，把复杂的三重积分化成单重积分）13§8.4静电场的环路定理电势能电势研究电场的性质从电场对q0做功的角度：引入u从q0在电场中受力的角度：引入E一.静电力作功的特点——做功与路径无关1.点电荷产生的电场babrrarqEqF0q0O求在q的场中，试验电荷q0从a—b电场力对q0做的功A=?所以：用积分法运算ab在上，逐点变化，所以q0受的力也逐点变化，即所求功为变力做功EF14在位移元上，电场力做的元功ldAdlEqlFAddd0rrqqrEqlEqd4dcosd20000babrrarldqEqF0q0Odrrrdq0从a—b电场力做的总功为：)11(4d4d00200barrrrqqrrqqAAba结果：电场力对q0做的功与路径无关q0的起点、终点位置有关q0的大小有关只与152.任意点电荷系的电场nq1nqiq2q1qab••q0从a—b电场对q0做的功bLabLaablEqlFA)(0)(ddbLanlEEEq)(210d)(banbabalEqlEqlEqddd02010nibaiiirrqq100)11(4以上每一项都与中间路径无关，所以：在任何静电场中，电场对q0做的功只与2个因素有关：起点、终点位置q0的大小在力学中学过，力的功只和被移动物体的起点和终点位置有关，与中间路径无关，此力称为保守力。如：重力、万有引力、弹性力静电场力是保守力，静电场是保守场。163.在任意静电场中，q0绕闭合路径一周，电场力做功等于多少？L1L2abLLlEqlFAdd0aLbbLalEqlEq)(0)(021dd0dd)(0)(021bLabLalEqlEq0d0d0LLlElEq即环路定理：在静电场中，沿任一闭合路径的线积分恒为零。E从物理上看：在静电场中，电荷沿任一闭合路径走一圈，电场力做功恒为零。即，静电场力做功和路径无关；或，静电场是保守场沿闭合路径的线积分，称为的环流EE可以引入势能17二.电势能任何力做功可以引起能量的变化。外力做功可以引起某种能量的增加内力做功可以引起某种能量的减少（或转换）对一个系统：对一个保守系统：保守内力做功引起系统自身能量减少（或转换）。保守内力做功的大小仅与始、终点有关，相应变化的能量也仅与始、终点位置有关。仅与相对位置有关的能量称为势能在保守力场中，引入势能：保守内力的功等与势能的减少，或等于势能增量的负值：PEA18在静电场中，q0从a—b，电场力做功：babLabLaabWWlEqlFA)(0)(dd电场力做功只能确定a,b二点电势能之差若选b点为参考点，并规定Wb=0，则q0在场中任一点a的Wa就有了确切的数值。q0Qaq0在Q的电场中a点的电势能Wa，等于把q0从a参考点移动，电场力做的功：参aalEqWd0问：能否用Wa来反映电场的性质？不行！19Wa属于系统所有，不能用来描述场的性质。当参考点选定后，Wa和2个因素有关：(1)场中a点的位置(2)引入q0的大小为了能用场点的位置，从能量的角度反映电场本身的性质，应把第2个因素去掉，统一取单位正电荷具有的电势能：参aalEqWd0此量仅与场点位置有关，记为ua称为电势三.电势单位正电荷具有的电势能仅与场中点a位置有关，与q0无关，可反映电场中各点的性质。ua是场中位置的单值函数201.电势的定义0qWuPPP点的电势等于单位正电荷在P点具有的电势能。参PPlEudP点的电势等于把单位正电荷从P点参考点移动，电场力做的功。或：P点的电势即从P点参考点的线积分E2.参考点的选取是任意的，为方便可设：对有限大小的带电体的电场：一般选无穷远处为参考点，令0u对无限大小的带电体的电场：任选一点为参考点实际工作中：一般选大地为参考点，0地u（因为大地是个导体、等势体，微量电荷变化不会引起地球电势的变化）213.电势是标量，其正、负由积分式定参PPlEud正、负由参考点的选取P点的位置的分布E定如：-q的电场中的电势一定是负吗？不是！-qP1P2Or若取O点为参考点0d11OPPlEu0d22OPPlEu-----+++++负板电势为0，二板间场中u均为正+qP1Or0u0u0Ou0Pu224.电势和电势能的区别uP——描写电场中P点性质的物理量，是电场的单值函数WP——进入场中电荷q0在P点具有的势能，属于q0和电场系统所有。二者关系：0qWuPPPPuqW0q0——点电荷uP——电场中q0所在P点处的电势（不包括q0的电场）5.电势差（电压）电场中任二点的电势之差babababaablElElElElEuuuddddd参参参参23（1）uab等于单位正电荷从a或：等于从ab的线积分b,电场力做的功E（2）uab与电势零点的选取无关（3）+q在电场中从ab电场力做功)(ddbababaabuuqlEqlFA0A0A电场力做正功，+q从高电势点低电势点，W电场力做负功，+q从低电势点高电势点，WbabababaablElElElElEuuuddddd参参参参