大学物理静电场(五)

1四.电势的计算方法（一）先求出点电荷电场的电势再根据叠加原理求任意有限大带电体电场的电势1.点电荷q场中任一点（）处的电势rPPlEud因积分与路径无关，所以选从P点沿径向方向到处，即：rrPPrrqrElEud4dd20rqrqr004)1(4在点电荷q电场中，是电场中空间位置（）的单值函数ru)(ru——球对称分布2把带电体分成无限多个电荷元dq，每个电荷元dq在P点的电势2.点电荷系电场中任一点的电势，是各点电荷单独存在时在该点电势的代数和iiiPrqu043.任意带电体的电场中，u的分布rqu04dd则从叠加原理：VrVrquu004d4ddV——产生电场的源电荷所占据的整个空间r——从源点dq到场点P引的矢径的大小3方法（二）按定义式计算已知电场中的分布E参PPlEud例1一均匀带电圆环，求中心轴线上任一点的电势（首先写出从P参考点，的数学表式）E五.电势计算例题1.利用电势叠加原理求电势建立如图坐标系，环上任一小段dq在P点的电势：RPOxdqr解:0dd4qur220d4lRx22200d4RpluRx22024RRx叠加原理：u沿x的分布规律4例2一均匀带电圆盘R，s，求中心轴线上任一点的电势PrxORrdx建立如图坐标系，取一带电圆环r，dr解:2202dd4rrurxs2200dd2RprruurxsRxrrr0220d2s)(2220xxRs5当xR时)(2220xxRuPs利用：在时1x2!2)1(1)1(xnnnxxn)211()1(22212222xRxxRxxRxRx2220220220422)(2RqxRxRxxRussxq04等同于电荷集中在盘心处的一个点电荷的电场当x=0时02sRuo62.利用定义式计算电势自看书上:例8.20（选看），8.21例1均匀带电球面R，q，求电势分布o已知的分布：ERrRrrrqE0420解:r=R处，E值突变、不连续因为是有限大带电体，从u的定义：0u令rR处rqrrqlEurPP0204d4drR处RRPPPlElElEuddd外内RqrrqR0204d40r=R处RquP047均匀带电球面是个等势体，球内、球面处的u均为，球外u的分布和点电荷电场一样：Rq04EorR21rEuorRru1例2二均匀带电同心球面R1，R2，带电±Q，求u的分布-QR1R2+QABC0:4:0:322022111ERrrQERrRERr已知的分布：E解:8因为是有限大带电体，0u令rR12211dddd321RRRRrrAlElElElEuAA)11(4d42102021RRQrrQRRR1rR222ddd32RRrrBlElElEuBB)11(40d420202RrQrrQRrBrR20dCrClEuuorR2R1二球面间电势差：)11(4d4d21020122121RRQrrQlEuRRRR9六.电势计算练习（续）（自看书上:例8-14,18,19,21—25）例1利用叠加原理，求以下问题：（1）二均匀带电同心球面R1,R2,带电±Q,求u。-QR1R2+QrR1R1rR2rR2201044RQRQu20044RQrQu04400rQrQuR1R2R3Q1Q2Q3Pr2014rQEP30320201444RQRQrQuP10（2）均匀带电球面R,Q,中心有一点电荷q,求)(ru)(rERQq)(ru)(rE12022044qrRErrqQrRErrRQquRrrQquRrRQrquRr002001444411例2二个无限大带电面±s，求u（负板接地）dxss01E20Es03EE:u0d11参PxEu0220000dddPxxuExixixxsss參dxxExExEudddxP0000233d0dddss参dxssoEdxssou12例3求无限长均匀带电圆柱面（R）电场中u的分布RrRrrE020rrPrrlEud2d0若选为参考点，则以上结果不合理。当电荷延伸到处，不能取处为电势零点任取为P0参考点，则在rR处一点P)ln(ln2d2d00000rrrrlEurrPPP一般可写为：Cln20ruPP0rPr0后一项是常数项，若取r0=1，则C=0当选r0=1m处为势能零点ruPln20r1处u0r1处u013例4二同轴无限长均匀带电圆柱面（R1R2±）,求u的分布R1R2rP0r0Pro01ErR1R1rR2rE022rR203E参考点取在P0点,在R1rR2处任取一点0220dd2d30rRRrPPPlErrlEurR20ln2二圆柱面间的Du120021ln2d2d2121RRrrlEuuRRRR已知的分布：E解:14§8.6电势与电场强度的关系一.电势的图示法：等势面1.如何画等势面电场中电势相等的点连成的面称为等势面。二相邻等势面间的电势差相等点电荷二带电平板152.性质：（1）q0沿等势面移动，电场力不做功abbabalEqlFAdd00)(d00babauuqlEq等势面E（2）证明:设等势面上P点的电场强度与等势面夹角为,把q0在等势面上移动,电场力作功为ldpQldElEqlEqAdcosdd00)(0QpuuqQpuu0dcos0lEq0cos216（3）电场强度的方向总是指向电势降落的方向abEubuaE设的方向如图，+q从ba电场力做正功=电势能减少0)(babauuqWWAbauu所以：等势面的概念在实际中有很重要的意义由于：u的分布容易计算u的等势面的分布图容易用实验测绘实际上，对电场的控制是通过对等势面的形状的控制来实现的从等势面图可以估计电场的分布17二.电势与电场强度的关系电势和电场强度是从不同角度描写同一事物的二个物理量，它们之间必然有密切的关系。前面介绍：已知电场的分布，求u参PPlEud--积分关系若：已知u的分布，求电场？----------------微分关系?在电场中任取两个相邻的等势面，u和u+du，设du0在等势面u上任取一点P，过P点作等势面的正法线n规定：正法线的方向指向电势升高的方向，指向电势降落的方向。nE下面讨论P点的和u的关系EnlEnduu+duPldP/18P点的u如何变化？（在P点附近很小的范围内）1.u沿正法线方向如何变化？nlEnduu+duPldP/——从功能关系入手，将单位正电荷沿方向从P——P/n电场力的功=电势能减少unEnEdddnnuEnuEdddd或E上式说明电场中任一点P处的大小等于过P点等势面正法线方向上电势的变化率。的方向指向u下降的方向。Enudd192.u沿任一方向如何变化？lnlEnduu+duPldP/Q将单位正电荷从P点沿方向到Q点l电场力的功=电势能减少ulElElEldd)cos(ddluElddlE上式说明，P点的在方向上的分量等于P点的电势在方向的变化率的负值。的方向指向u下降的方向。ElllE取不同的方向，电势的变化率不同。问：在哪个方向上电势的变化率最大。——在正法线方向上l20在直角坐标系中，已知u(x,y,z)，求在一个标量场中，可以定义一个矢量，用该矢量表示场中各点标量变化的规律。)(rE)(ru在此标量场中引入一个矢量，叫做这个标量的梯度矢量，即电势梯度矢量。它反映了在电场中电势逐点变化的规律，记为：)(graduu电势梯度矢量方向：电势变化率最大的方向为该矢量的方向（即：该点所在等势面的正法线方向）大小：电势变化率的最大值为电势梯度的大小（即：沿正法线方向的变化率）ExuxEyuyEzuzE()graduuuxyzEijkugradu——称为电势u的梯度，表示函数u在点P(x,y,z)附近如何变化的一个矢量21Eu和的关系：uEgradluEnnuEllu即电势沿方向的方向导数（偏微商），其大小即在方向的分量，负号表示的方向是指向减小的方向。llElEulE例1：已知点电荷的电势分布求电场分布rqu0420dd4uqErrE的方向沿方向，即电势降低的方向。r22例2：均匀带电圆环轴线上一点的2204xRqu例3：已知某电场中电势的分布求电场分布)(4220yxqu23220)(4xRqxE的方向沿x方向，即电势降低的方向。00224ddqxxqxuEx02ddqyyuEy0zEjqyiqxE0022xxRqxuEx2)(214dd23220则：23和都是描写电场分布的空间位置的单值函数。但和之间没有简单的正比对应关系。不能仅从场中一点的推出该点的，反之也不行。EuEuuE是从场中某点P到参考点的积分结果。的大小与从P到参考点的整个路径上的都有关：EPuPuE参PPlEud是在一个小范围内的微分结果。是在P点附近小范围内电势梯度的负值，即：与P点附近的局部变化率有关：EEPEuuuEgradluEnnuEl即：24EE问：均匀处，均匀。对否？处，。小处，低。大处，高。E0Euuu0u不对！Eunudd的大小，取决于的大小,而不是取决于的大小。如：均匀带电球面内RQuE040均匀带电球面是一个等势体，的变化率恒为零，所以：面内0Eu又如：oxssAB二板内均匀，但从正板到负板，电势逐点减小，电势的变化率均匀E0ddsxuExu0s前面的计算：Eu——负号表示的方向指向减小的方向，逆x轴方向