等比数列练习题

1第三节等比数列一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·江西卷)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析由等比中项公式(3x＋3)2＝x(6x＋6)，得x2＋4x＋3＝0.∴x＝－1(舍去)，x＝－3.∴数列为－3，－6，－12，－24.故选A.等比中项公式比定义法更直接．注意x＝－1不满足等比数列的条件．答案A2．(2013·全国大纲卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10)B.19(1－310)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)解析由题意3an＋1＋an＝0，得3a2＋a1＝0.又a2＝－43，故a1＝4；an＋1＝－13an，故{an}为以－13为公比，以4为首项的等比数列，所以S10＝4[1－－1310]1＋13＝3[1－(13)10]，所以选C.答案C23．若Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝()A．11B．5C．－8D．－11解析由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，得q＝－2，则S5S2＝a11＋25a11－22＝－11.答案D4．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝()A．9B．10C．11D．12解析在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝a51q10＝q10.又∵am＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.答案C5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．若a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.152B.314C.334D.172解析∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q＞0，且a23＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝12，或q＝－13(舍去)，a1＝1q2＝4.3故S5＝41－1251－12＝81－125＝314.答案B6．(2013·福建卷)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm解析本题考查等差、等比数列的证明．cn＋1cn＝amn＋1·amn＋2·…·amn＋mamn－1＋1·amn－1＋2·…·amn－1＋m＝qm·qm·…·qmm个＝qm2.答案C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·广东卷)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.解析∵a1＝1，q＝－2，∴|a2|＝2，a3＝4，|a4|＝8.∴a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15.答案158．(2013·辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.解析∵x2－5x＋4＝0的根为1和4，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，4∴S6＝1×1－261－2＝26－1＝63.答案639．(2014·徐州市检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，且Sk＝33，Sk＋1＝－63，其中k∈N*，则Sk＋2的值为________．解析设公比为q,2a3＝a4＋a5，2a3＝a3q＋a3q2，又a3≠0，∴2＝q＋q2，q＝1或q＝－2.当q＝1时，Sk＝k·a1＝33，Sk＋1＝(k＋1)a1＝－63Sk＝33说明a10，Sk＋1＝－63说明a10，矛盾，∴q＝－2.Sk＋1－Sk＝ak＋1＝－96，Sk＋2＝Sk＋1＋ak＋2＝－63＋(－96)·(－2)＝129.答案129三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(2013·四川卷)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．解a1q－a1＝2，得a1(q－1)＝2.由4a1q＝3a1＋a1q2得q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．故公比q＝3，首项a1＝1.∴数列的前n项和Sn＝3n－12.11．(2013·陕西卷)设{an}是公比为q的等比数列．(Ⅰ)推导{an}的前n项和公式；(Ⅱ)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．5解(Ⅰ)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a11－qn1－q，∴Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.(Ⅱ)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．12．(2013·天津卷)已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设Tn＝Sn－1Sn(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．解(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝14.又{an}不是递减数列且a1＝32，所以q＝－12.故等比数6列{an}的通项公式为an＝32×(－12)n－1＝(－1)n－1·32n.(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn＝1－(－12)n＝1＋12n，n为奇数，1－12n，n为偶数.当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn≤S1＝32，故0Sn－1Sn≤S1－1S1＝32－23＝56.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以34＝S2≤Sn1，故0Sn－1Sn≥S2－1S2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N*，总有－712≤Sn－1Sn≤56.所以数列{Tn}的最大项的值为56，最小项的值为－712.