数字信号处理第一章差分方程、抽样

天津科技大学应用文理学院1§1.3离散时间系统的时域描述––––差分方程一、常系数线性差分方程的一般表达式或其中ak，br都是常数。MrNkkrknyarnxbny01)()()(1,)()(000arnxbknyaMrrNkk连续时间系统——用微分方程描述系统输出输入之间的关系。离散时间系统——用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。天津科技大学应用文理学院2说明：1）常系数：是指ak，br都是常数，不含变数n。2）阶数：差分方程的阶数是由方程y(n-k)项中的k取值最大与最小之差确定的。3）线性：y（n−k）和x(n−r)项都只有一次幂且不存在相乘项。1,)()(000arnxbknyaMrrNkk天津科技大学应用文理学院3二、差分方程的求解时域经典法：类似于解微分方程，即求齐次解和特解，过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。迭代法(递推法)：比较简单，且适合于计算机求解，但不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形式解答）。卷积法：适用于系统起始状态为零时的求解。变换域方法：类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这里采用Z变换法来求解差分方程，这在实际使用上是最简单有效的方法。天津科技大学应用文理学院4例题：解：（1）令x(n)=δ(n)，y(n)=h(n)=0，n0根据初始条件可递推如下y(0)=ay(-1)+δ(0)=1y(1)=ay(0)+δ(1)=ay(2)=ay(1)+δ(2)=a2……y(n)=ay(n-1)=an因此，h(n)=y(n)=anu(n)，该系统是因果系统。若系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=δ(n)，求初始条件分别为：（1）h(n)=0，n0；（2）h(n)=0，n0时的单位脉冲响应h(n)。δ(n)作用下，输出y(n)就是h(n)1(1)[()()]1(2)[(1)(1)]01(3)[(2)(2)]0()01ynynxnayyxayyxaynn由，得，天津科技大学应用文理学院5已知：y(n)=ay(n-1)+x(n)，求h(n)=0，n0时的h(n)（2）将差分方程改写成y(n-1)=a-1[y(n)-x(n)]根据初始条件可递推如下y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0y(-1)=a-1[y(0)-δ(0)]=-a-1……y(n)=ay(n-1)=-an因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)，是非因果系统。()(1)()(1)(0)(1)0(2)(1)(2)0()01ynaynxnyayxyayxynn由，得，天津科技大学应用文理学院6以上结果说明：（1）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统。（2）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，不能唯一的确定一个系统的输入输出关系，并且只有当起始条件选择合适时，才相当于一个线性时不变系统。在以下的讨论中，除非特别声明，我们都假设常系数线性差分方程所表示的系统都是指线性时不变系统，并且多数是指因果系统。天津科技大学应用文理学院7Z-1ax(n)y(n)采用差分方程描述系统简便，容易得到系统的运算结构差分方程系统结构()(1)()ynaynxn该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该时刻的输入x(n)有关，还与该时刻以前的输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。天津科技大学应用文理学院8§1.4连续时间信号的抽样前置预滤波器A/D变换器数字信号处理器D/A变换器模拟滤波器模拟xa(t)PrFADCDSPDACPoF模拟ya(t)采样采样恢复天津科技大学应用文理学院9一、采样的基本概念采样的原理框图采样器连续信号采样脉冲采样信号toxa(t)xa(t)xa(t)^^所谓“采样”，就是利用采样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列的离散样值，由此得到的离散时间信号通常称为采样信号，以表示。)(ˆtxa天津科技大学应用文理学院10ˆ()()aaxtxtˆ()()()aaTxtxtpt0ˆ()()()aaTxtxtt当两种采样方式（a）实际采样（b）理想采样xa(t)otp(t)ttttp(t)ooooT1Txa(t)otxa(t)^xa(t)^天津科技大学应用文理学院11采样前后信号频谱的变化？研究讨论：什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号？)(ˆtxa天津科技大学应用文理学院12二、理想采样1.时域分析数学模型采样脉冲：理想采样输出:nTnTtttp)()()(naTaanTtnTxttxtx)()()()()(ˆp(t)xa(t)xa(t)=xa(t)p(t)Xa(W)^)]()([21)(ˆaaWWWPXX天津科技大学应用文理学院132.频域分析映射时域相乘频域卷积（模拟系统）)]()j([21)j(ˆaaWWWjPXX)()()(ˆaatptxtx()[()]()jtaaaXjDTFTxtxtedtWW2()[()]()TTskjDTFTtkTWWW1ˆˆ()[()][()*()]2aaaTXjDTFTxtXjjWWW天津科技大学应用文理学院142.频域分析（1)冲激函数序列δT(t)的频谱可求解出:2jT()ektTkktAs2j021()edTktktTAttTW221()dTTttTT1sj1()ektTktTW因为)(2ssWWWtjeWWWWknjkkTeTFjP)(2]1[)(ss天津科技大学应用文理学院15（2）理想采样信号的频谱)](*)([21)(ˆWWWjPjXjXaa])(2*)([21WWWksakTjXWWksaXT)jkj(1)(ˆtxa12[()()]2askXjkdTWW1()()askXjkdTWW天津科技大学应用文理学院16（2）理想采样信号的频谱上式表明：（1）频谱产生周期延拓。即采样信号的频谱是频率的周期函数，其周期为Ωs。（2）频谱的幅度是Xa(jΩ)的1/T倍。)](*)([21)(ˆWWWjPjXjXaaWWksaXT)jkj(1)(ˆtxa0Wc0-Wc-WsWsWs/2Xa(jW)Xa(jW)^WW1/T1天津科技大学应用文理学院17三、时域采样定理如果信号xa(t)是带限信号，且最高频率不超过Ωs/2，即那么采样频谱中，基带频谱以及各次谐波频谱彼此是不重叠的。用一个带宽为Ωs/2的理想低通滤波器，可以不失真的还原出原来的连续信号。WWWWWW2/||02/||)()(ssaajXjX频谱混叠现象：如果信号最高频率超过Ωs/2，那么在采样频谱中，各次调制频谱就会相互交叠起来折叠频率：Ωs/2或fs/2天津科技大学应用文理学院18采样信号的频谱图0Wc0-Wc-WsWsWs/2Xa(jW)Xa(jW)^WW0-WsWsW0-WsWsWs/2Xa(jW)^P(jW)（a）W（b）（c）（d）天津科技大学应用文理学院19奈奎斯特采样定理：若原始信号是带限信号，为使采样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于两倍信号最高频率，即为避免混叠，一般在抽样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，将高于折叠频率的分量滤除掉。工程上一般取h）5~3（WWsh2WWs天津科技大学应用文理学院20四、采样的恢复（内插）1.频域分析h(t)p(t)xa(t)xa(t)Xa(jW)^H(jW)Xa(jW)^ya(t)=xa(t)Y(jW)0Xa(jΩ)Ω＾0H(jΩ)Ω－π/Tπ/T0Xa(jΩ)Ω（a）（b）（c）WWWWW2/,02/,)(ssTjH)()()(1)()(ˆ)(WWWWWWjXjHjXTjHjXjYaaa)()(txtya天津科技大学应用文理学院212.时域分析把输出看成是与理想低通单位冲激响应h(t)的卷积。理想低通H(jΩ)的冲激响应为：)(ˆtxaWWWWWWW2/2/2)(21)(hssdeTdejHttjtjtTtTttsssin22sinWW1T2Tt3T-T-2Th(t)0天津科技大学应用文理学院22根据卷积公式，低通滤波器的输出为：dtxtxtyaa)(h)(ˆ)()(dtnTxna)(h])()([nadnTtx)()(h)(nananTtTnTtTnTxnTtnTx)()](sin[)()(h)(天津科技大学应用文理学院23naanTtTnTtTnTxtx)()](sin[)()(采样内插公式内插函数权内插公式(n-3)T(n-2)T(n-1)TnT(n+1)T(n+2)T(n+)TtTnTtTnTt/)(π]/)(πsin[xa(t)oT2T3T4Tt内插函数有一个重要特点：在抽样点nT上函数值为1，在其余抽样点上函数值都为0内插结果使得被恢复的信号在采样点的值就等于xa(nT)，采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸叠加而成的。天津科技大学应用文理学院24采样内插公式说明，只要采样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特定理的意义。奈奎斯特定理的意义天津科技大学应用文理学院25五、实际抽样抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲()sjktTkkptCeW其中系数Ck随k变化抽样信号频谱ˆ()()akaskXjCXjjkWWW天津科技大学应用文理学院26抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为Ωs若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降幅度变化并不影响信号恢复天津科技大学应用文理学院27例：模拟信号，其中1）求xa(t)的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为多少？2）若选采样频率fs=200Hz，采样间隔为多少？写出采样信号的表达式。3）画出对应的时域离散信号x(n)的波形，并求出x(n)的周期。)82sin()(0atftxHz500f)(ˆatx)(ˆatx天津科技大学应用文理学院28解：1）由，可得2），由，可得Hz500fsfT02.0/100Hzf500Hzffs10020sfTs01.0/1Hzfs200sfTs005.0/1)8//2sin()8/2sin()(00safnfnTfnTx)8/21sin()8/200502sin(nnnaanTttxtx)()()(ˆnntn)200/()8/21sin(天津科技大学应用文理学院293）的周期为N=4。)821sin()()(ntxnxnTta42/1220)(nx