反比例函数的神奇

让我们一起领略反比例函数的神奇一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟1.为何正比例函数的比例系数是比xyk，而反比例函数的比例系数却不是比xyk？2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至多探究一下k的几何意义（面积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究通法”，并非专门深入研究反比例函数.3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开多元方程、分式方程、高次方程.4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来了解数学本质！做到居高临下、解有依据！5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇.二、一道曾经困惑我多时的中考题某年宁波市中考的填空压轴题:如图，AOBRtΔ的顶点B(，)，双曲线xky经过点C、D，当以B、C、D为顶点的三角形与AOBΔ的相似时，则k.1.常规性解法：通过设元，例如设C(m，m)，则D(，m)，再根据条件列方程：(1)利用CDBC、CDBC、CDBD或CDBD列方程；(2)利用)(DCCDyyxx列方程；(3)利用“一线三等角”模型、和DDCCyxyx列方程.实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具备了一定的技巧性.但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！2.挖掘隐含性质，巧解此题(1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：过点C作yCP轴于P，连接PA，直线CD分别交坐标轴于点M、N.则有①PA∥CD；②ANPC，ADPM；③DNMC，CNMD.基于以上这些性质，有如下解法.(2)我的第一种解法（整体思想）：由OMON，PMADAN可得，)(PMOMANON，即OPOA，于是OAOP，OPPC，……(3)我一个同事的解法（斜边转直比）：由::::CNOCMC，DNMC可得，::::DNCDMC，转为横比，::)(:)(:DNCDCxxxxx，因此OAxC，……(4)我一个学生的解法（斜等转直等）：由CNMD得OAxxCN，则)(CNCxxy，……(5)我的第二种解法（平行导角度）：由PA∥CD得，BMNOPAO，于是OAOP，……(6)下面我们要着重解决两件事：①上述性质是否永远成立？如何证明？②解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质1.如图，双曲线xky与矩形OABC边交于点M、N，直线MN交坐标轴于点D、E.①如图1，若::ABAM，则CBCN:；②如图2，若::ABAM，则CBCN:；③如图3，若nABAM::，则CBCN:，直线MN与AC的位置关系是，EN与MD的大小关系.图1图2图32.①如图1，双曲线xky与直线DE交于点M、N，yMA轴于点A，xNC轴于点C，请探究直线MN与AC的位置关系，线段EN与MD的大小关系.②如图2，双曲线xky与直线EF交于点M、N，yMA轴于A，xMC轴于C，yND轴于D，xNB轴于B，请探究直线MN与AB、CD的位置关系，以及线段ME与FN的大小关系.图1图2四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长1.如图，直线xy反比例函数xky(x)图象交直线AB于点C、D，且CDAB，则k的值为.(1)常规方法（斜长转直长）：ABCD，则CDxxCD，可设C(m，m)，则D(m，m)，列方程解决；(2)口算巧解（斜边转直比）：由DBAC，CDAB得，::::DBCDAC，转为横比得，::)(:)(:DBCDCxxxxx，则Cx，Cy，……2.同类变式题：如图，直线xy交坐标轴于点A、B，双曲线xky交直线AB于点C、D.若ABCD，则k的值为；3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2017/3/29）如图，点A(，)，B，C在双曲线上，oBAC，AB分别交x，y轴于D，F，AC分别交x，y轴于D，E.(1)求DOEΔ的面积；(2)求证：DBCEADESS四边形Δ.4.原创清新小题和近年的中考题：(1)如图1，BCAB，AOBΔ的面积为，则k的值为.(2)如图2，点A，B在双曲线xky上运动，xAB轴，BCAC.①在运动过程中，ABCΔ的面积是不是定值？答：；②若k，且ABCΔ是正三角形，则点A的坐标为.(3)如图3，□OABC中，oB，OA，双曲线经过点C和AB中点D，则该双曲线的解析式为.(4)如图4，直线xy与xy分别与双曲线xky交于点A、B，BCOA，则k的值为.图1图2图3图4(5)(十堰)如图5，正AOBΔ的边长为，双曲线xky经过点C、D，且OBCD，则k的值为.(6)如图6，双曲线xky与直线bmxy交于点C、D.①(原创、铺垫②)若m、b，且CDAB，则k；②(常州模拟·改编)若b，且CDAB，则mk；③(杭州模拟·改编)若m，且ADAC，则k.(7)(据上题改编)如图7，P为双曲线xy上的动点，过点P作矩形PAOB，直线CD的解析式为bxy，交矩形边于M，N，则DNCM.图5图6图7五、面积比、边比互转1.①(原创、铺垫)如图1①，直线xy与双曲线xy交于点A，C为双曲线上一点，射线CA交y轴于点D，若CODΔ的面积为，则点C坐标为；②(成都)如图1②，直线xy与双曲线xy交于点A、B，C为双曲线上一点，射线CA交y轴于点D，若BCDΔ的面积为，则点C坐标为.2.(无锡)如图2，xAB轴，BC∥x轴，双曲线过点C、D，且::DBOD，已知OBCΔ的面积为，则k的值为.图1①图1②图33.(宁波)如图3，正AOBΔ的顶点A在双曲线xy上，双曲线xy与边OA交于点C，连接BC，则ABCΔ的面积为.4.(丽水)如图4，双曲线xy与直线bxy交于点A、B，AEx轴，设点A的横坐标为m.①用含m的式子表示b；②若AOFΔ与四边形BCEF的面积和为，则m.5.如图5，双曲线xky与直线bmxy交于点C、D.①(常州模拟)若b，且CODAOBSSΔΔ，则mk；②(改编自①)若k、m，且CDAB，则CODSΔ.图3图4图56.如图6，ABx轴，C为AB中点，延长OC到E，延长OA到D，若双曲线xky恰好经过点D，E，且CEOC，则ODOA:.7.如图7，双曲线xky过点A，B，xky过点C，D，若AC，BD均与x轴平行，AC，BD，且它们之间的距离EF长为，则kk.8.如图8，直线AB交双曲线xy于点C，D，若AOBSΔ，则BOCSΔ.图6图7图89.如图，点A在双曲线xky上，xAB轴，CDAD，DB延长线交y轴于E，若BCEΔ的面积为，则k的值为.10.如图，点A、B在双曲线xky上，xAC轴，xBD轴，垂足C、D分别在x轴的正半轴和负半轴上，kCD，ACAB，E是AB的中点，若BCEΔ面积是ADEΔ的倍，则k的值为.六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例1.如图1，ABCΔ中，BAOB，oOBA，双曲线xky经过点A、B，且点B的纵坐标为，则k的值为.(1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“K”形全等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2，得m.(2)后感：我们可以发现，矩形ODCE恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究…(3)探究(2016临沭模拟)：如图3，双曲线xky与矩形ODCE的边交于点A，B，若设点B的坐标为(a，b)，且有ABOB，ABOB，则ba:.图1图2图32.类似题：①(2015临海模拟·填空压轴题)如图，ABOA，oOAB，双曲线xky经过点A，双曲线xky经过点B，已知点A的纵坐标为，则k，点B的坐标为.②(个人原创)如图2，ABCΔ中，BAOB，oOBA，双曲线xky经过点B，双曲线xky经过点A，且点B的纵坐标为，则k的值为.3.难题展示（常州·于新华老师原创题）(1)如图1，点A(，)，B均在双曲线xky上，过点A作y轴垂线，过点B作x轴垂线，两垂线交于点P，垂足分别为E，F，将PABΔ沿AB翻折，点P恰好落在x轴上的点Q处.求点B的坐标.(2)如图2，点A(，)，B均在双曲线xky上，过点A作y轴垂线，过点B作x轴垂线，两垂线交于点P，垂足分别为E，F，将PABΔ沿AB翻折，点P恰好落在x轴上的点Q处.求点B的坐标.图1图24.如图，矩形ABCD的边AB的解析式为kxy，顶点C，D在双曲线xmy上.①若ADBtan，则点D的坐标为；②连接OC，OD，若CODΔ是等边三角形，则ADBtan.后感：若能发现OBOA，本题将更简单！拓展：如图，正方形ABCD的顶点A、B在双曲线xy上，C、D在双曲线xy上，则正方形ABCD的面积为.5.(2013湖州模拟)如图1，矩形OABC的顶点A、B在双曲线xky上，若点A(，)，则点B的坐标为.6.如图2，矩形ABCD中，ADAB，点A(，)，点C，D在双曲线xky上，若E为AB中点，则k的值为.图1图27.①如图1，点A，B在双曲线xy上运动，以AB为底边作等腰直角ABCΔ，则点C也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为；②如图2，点A，B在双曲线xy上运动，以AB为底边作等腰ABCΔ，则点C也在一条双曲线上运动，若CABtan，则该双曲线解析式为；③如图3，点A，B在双曲线xky上运动，以AB为底作等腰ABCΔ，点C在另一双曲线xky'上运动，若mCABtan，请用m，k表示'k.图1图2图3七、平行导角度，角度导比例1.如图，点A，B在双曲线xky上，AB经过原点O，过点A作AC∥x轴，连接BC并延长，交双曲线于点D.①求证：CDAD；②求BDAD:的值.根据本题的发现，改编了一个清新小题：如图，点A，B在双曲线xky上，AB经过原点O，过点A的直线bxy交该双曲线于点C，分别交x轴，y轴于点D，E，若BC，AC.求k的值.2.如图，直线xy交在双曲线xky于点A、B，AB经过原点O，过A作ABAC交y轴于点C，连接BC并延长，交双曲线于点D.求BDAD:的值.3.如图，双曲线xky与过原点的直线l交于点A、B，点M在双曲线上，直线AM、BM分别交y轴于点P、Q.若设PMmAM，QMnBM，则nm.4.如图，ABOA，双曲线经过点C、D、E，求证：AEACAD.八、纯面积推导1.如图，点A(，)，B，C在双曲线上，oBAC，AB分别交x，y轴于D，F，AC分别交x，y轴于D，E.求证：DBCEADESS四边形Δ.(此方法感谢江苏·于新华老师的指导！)2.(2016菏泽)如图，AOCΔ，ABDΔ均是等腰直角三角形，双曲线xy经过点B，交线段OA与点E，求AOCΔ与ABDΔ的面积之差.后感：①题中条件“AOCΔ，ABDΔ均是等腰直角三角形”可如何改变？②写出OA，OE，AB的关系：.3.(十堰