利用z变换解差分方程

§7.7利用z变换解差分方程•主要内容•重点：利用z变换解差分方程的一般步骤•利用z变换解差分方程的一般步骤•举例说明解差分方程的方法：（1）时域经典法（2）卷积和解法（3）Z变换解法在8.5节已经给出利用z变换解差分方程的简单实例，本节给出一般规律。这种方法的原理是基于z变换的线性和位移性，把差分方程转化为代数方程，从而使求解过程简化。一、利用z变换解差分方程的一般步骤MrrNkkrnxbknya00)()(一般形式为线性常系数差分方程的])()([])()([1M0r1N0krmmrrkllkkzmxzXzbzlyzYza＝＝性得换，利用z变换位移特将等式两边取单边z变（1）（2）若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态，此时差分方程（1）成为齐次方程0)(0Nkkknya而（2）式变为0])()([1N0kkllkkzlyzYza＝于是N0k1N0k)()(＝＝kkkllkkzazlyzazY)]([)(1zYnyF对应的响应序列是上式的逆变换，即若系统的起始状态y(l)=0(-N≤l≤-1),即系统处于零起始状态，此时式(2)变成])()([)([1M0rN0krmmrrkkzmxzXzbzYza＝＝如果激励x(n)为因果序列，上式可以写成)()([M0rN0kzXzbzYzarrkk＝＝于是)()(N0kM0rzXzazbzYkkrr＝＝令N0kM0r)(＝＝kkrrzazbzH则)()()(zHzXzY此时对应的序列为)]()([)(1zHzXnyF零状态响应和全响应。求系统的零输入响应、,初始状态,已知激励差分方程为例：若描述离散系统的02)y(1,1)y(u(n)2x(n)x(n)2)y(n211)y(n21y(n)n(z)Y(z)YX(z)z21z2111z21z2112)y(211)1)(zy(21Y(z)zszi21211将上式整理，得得两边取z变换解：第一步将差分方程X(z)2)]y(1)y(zY(z)[z211)]y(Y(z)[z21Y(z)1212161132)21)(1()1(212121)1(2121211)1(21)(2211zzzzzzzzzzzzzzzzYzi(z)表达式中得代入Y将(z)象函数Y第二步求零输入响应的zizi02)y(1,1)y(u(n))21(611)(32[(n)查表得y(z)的z逆变换第三步，求Ynnzizi]u(n)(2)92)21(1811)(94[(n)y(n)yy(n)]u(n)(2)98)21(911)(92[(n)y2zz9821zz911zz922zz21z21zzX(z)z21z2111(z)y(n)(n),yY(z),(z),Ynnnzszinnnzs2221zszszs全响应为故Y，得代入零状态响应象函数2zz将X(z)第四步：同理求及求系统的完全响应。若边界条件达式为已知系统的差分方程表,1)1()(05.0)1(9.0)(ynunyny105.019.01zzyzYzzY9.019.09.0105.02zzyzzzzY解：方程两端取z变换9.0121zzAzzAzzY例：9.0121zzAzzAzzY45.05.021AA9.045.015.0zzzzzzY09.045.05.0nnyn思考题•1.求差分方程的方法有哪些？•2.怎样利用z变换求差分方程？